Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года

примерный перечень экзаменационных вопросов

АНАЛИТИчЕСКАя ГЕОМЕТРИя

1. ЛИНИя НА ПЛОСКОСТИ. ЕЕ УРАВНЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ТЕКУЩИЕ

КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОчКИ ЛИНИИ.

2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на

плоскости Oxy.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и

перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми

коэффициентами.

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым

коэффициентом.

5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или

каноническое уравнение прямой.

7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.

8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у

которых заданы направляющие векторы.

9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у

которых заданы нормальные векторы.

10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с

угловым коэффициентом.

11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.

12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.

14. Общее уравнение плоскости.

15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.

16. Уравнение плоскости в отрезках.

17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.

19. Смешанное произведение трех векторов.

20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.

22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.

27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).

30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой

второго порядка на плоскости?

31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.

32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?

33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

34. Вырожденные поверхности второго порядка.

35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

36. Метод параллельных сечений.

37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.

38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.

39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.

40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?

41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.

42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.

43. Конус вращения и его вид.

44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида

и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.

45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.

46. Линейчатые поверхности второго порядка.

47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в

пространстве при параллельном сдвиге осей.

48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в

пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.

49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с

центром в начале координат.

50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?

51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?

52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго

порядка.

53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?

54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0,

используя формулы Крамера.

55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 5)

и [pic]= (-4, -10) - их направляющие векторы.

56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (-

2, 3) и [pic] = (3, 4) - их нормальные векторы.

57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z +

1= 0.

58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5)

на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3).

59. При каком значении a прямая [pic] будет лежать на плоскости 3x – y – z

– 3 = 0?

60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное про