Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года

примерный перечень экзаменационных вопросов

ЛИНЕЙНАя АЛГЕБРА

1. Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали.

Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная

матрицы. Примеры.

2. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства

ассоциативности и коммутативности матриц. Примеры.

3. Приведение матриц к ступенчатому виду методом Гаусса. Элементарные

преобразования над строками матрицы. Пример. Ранг матрицы.

4. Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная

форма записи. Расширенная матрица системы. Пример.

5. Однородные и неоднородные системы уравнений. В каком случае они имеют

единственное решение? Пример.

6. Решение однородной и неоднородной систем методом Гаусса. Пример.

7. Однородные системы и их свойства. Эквивалентные системы.

8. Свободные и несвободные переменные однородной системы. Частное и общее

решение. Пример.

9. Совместные системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.

10. Вектор решения линейной системы уравнений. Общее и частное решение

неоднородной системы уравнений. Основные свойства решений.

11. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Ее математическая модель.

12. Определитель матрицы. Его порядок. Понятие определителя применительно к

матрицам второго и третьего порядков. Алгебраическое дополнение

элемента. Разложение определителя по строке или столбцу.

13. Сформулировать свойства определителя.

14. Какую матрицу называют обратной? Условие ее существования.

15. Вычисление определителя с использованием метода Гаусса.

16. Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений

и методом Гаусса.

17. Даны матрицы А=[pic]и В=[pic]. Найти АВ - ВА.

18. Найти ранг матрицы: [pic]A =[pic].

19. Найти ранг матрицы [pic][pic].

20. Исследовать сколько решений может иметь система уравнений: [pic].

21. Найти общее решение однородной системы: [pic].

22. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: [pic].

23. Вычислить определитель матрицы det A, где А = [pic] методом Гаусса.

24. Что называется линейным пространством? Элемент линейного пространства.

Какое множество функций на отрезке [a, b] образует пространство C[a, b]?

25. Свойства коммутативности и ассоциативности сложения векторов.

26. Арифметическое пространство Rn. Что называют компонентами вектора?

27. Определите понятие подпространства Н в пространстве V. Приведите

примеры линейных подпространств в линейном пространстве V, в

пространстве Rn.

28. Определите понятие линейной комбинации векторов u и v линейного

пространства. Какая система векторов называется линейно независимой?

29. Запишите свойства линейно зависимой системы векторов и линейно

независимой системы векторов.

30. Приведите примеры линейно независимых векторов и функций в линейном

пространстве.

31. Базис линейного пространства, разложение вектора по базису, координаты

вектора u в базисе е1, е2 … еn. Примеры стандартных базисов в

прстранстве Rn.

32. Размерность линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.

Размерность линейного подпространства W линейного пространства V.

33. Линейные операции над свободными векторами в координатной форме в

произвольном линейном пространстве.

34. Как определяется матрица перехода от старого базиса b к новому c?

35. Какими свойствами обладает матрица перехода от старого базиса b к

новому c?

36. Сформулируйте теорему о разложении любого вектора линейного

пространства по базису.

37. Запишите формулы преобразования координат вектора x линейного

пространства L при переходе от старого базиса b к новому c.

38. Как определяется скалярное произведение двух векторов? Какое

пространство называется евклидовым? Неравенство Коши-Буняковского.

39. Ортогональные векторы линейного пространства.

40. Понятие нормы вектора. Каким аксиомам подчиняется норма вектора?

41. Ортогональная система векторов. Является ли она линейно зависимой?

42. Понятие ортогонального и ортонормированного базисов линейного

пространства.

43. Какую матрицу называют матрицей Грама и как вычисляются ее элементы?

44. Что называется процессом ортогонализации?

45. Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости

векторов.

46. Составьте матрицу Грама для системы векторов е1=(1, -1, 2), е2=(1, 1,

1), е3=(1, 0, 1) трехмерного пространства.

47. Докажите, что для любых двух векторов а и с векторное уравнение a + x =

c относительно x имеет решение, и при этом единственное.

48. Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=-2с1-3с2-2с3,

b2=7с1+8с2+9с3, b3=3с1+4с2+5с3.

49. Выяснит