Геоморфология

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Геоморфология

Геоморфология

Предметом данного реферата является определение объекта исследования и

изложение в общих чертах содержания геоморфологии в терминах теории

множеств, математической логики и топологии. Использован имеющийся опыт

применения элементов теории множеств и математической логики в геологии

(Косыгин, Воронин и др., 1964, 1965 и др.; Геология и математика, 1967) и

географии (Родоман, 1967).

Начнем с математического определения объекта изучения геоморфологии —

земной поверхности, понимая под нею поверхность литосферы или поверхность

раздела литосферы с гидро- и атмосферами. В масштабах макромира, изучаемого

в геоморфологии, дискретным, молекулярно-атомарным строением оболочек Земли

можно пренебречь и рассматривать их как сплошную среду, т.е. как бесконечно

большое множество материальных точек, каждая из которых имеет исчезающе

малые размеры. Слово множество можно понимать здесь в смысле, придаваемом

ему и в обыденной речи, и в математике. Но вообще, если в обыденной речи

под множеством понимается большое число объектов, то в математике это

совокупность любого числа однородных в каких-либо отношениях объектов, или

элементов произвольной природы. Множество материальных точек s Земли

обозначим через S. Отношение принадлежности элемента s к множеству S можно

записать словесно: «s принимает значения на множестве S», или «из множества

S», либо символически: [pic], где [pic]— знак принадлежности.

Множество S материальных точек Земли существует в физическом

пространстве, которое в геоморфологии допустимо рассматривать как ньютоново

пространство. Положение каждой точки p этого пространства определяется

тремя действительными (т.е. рациональными или иррациональными) числами x,

y, z. Тройка чисел (x, y, z) называется вектором, потому что в декартовой

системе координат X, Y, Z ее можно рассматривать как три координаты радиус-

вектора Op точки p. Координата x может принимать значения из множества X

действительных чисел, отложенных на оси X; следовательно, [pic]. Аналогично

[pic], [pic]. Множество всех векторов (x, y, z) называется прямым

произведением множеств [pic]и записывается в виде [pic]. Это есть вместе с

тем множество [pic] всех точек [pic] ньютонова пространства, и таким

образом: [pic]. Вообще в математике прямое произведение трех множеств

действительных чисел называется трехмерным евклидовым пространством;

произведение n множеств действительных чисел, где n — целое число,

называется n-мерным евклидовым пространством. Евклидово пространство

представляет собой частный случай метрических пространств. Так называют

пространства, в которые можно ввести метрику, определив тем или иным

образом расстояние между элементами пространства. В евклидовом пространстве

это есть расстояние между точками в обычном понимании.

Чтобы внести метрику во множество S материальных точек Земли, образуем

прямое произведение [pic] этого множества и множества P точек физического

пространства. Это есть множество всех векторов [pic], у которых первой

компонентной служит какая-либо материальная точка s Земли, а второй

компонентой — какая-либо точка p физического пространства. Однако не все

векторы [pic], входящие в произведение [pic], реально существуют. Например,

из возможных векторов [pic], [pic], [pic], где [pic] — одна и та же

материальная точка, а p1, p2, p3 — различные точки физического

пространства, может реально существовать только один вектор, допустим

[pic].

Выделим из множества векторов [pic], образующих произведение [pic],

только те, которые отвечают реальному нахождению данной материальной точки

Земли в данной точке физического пространства. Совокупность этих факторов

образует подмножество R множества [pic] векторов [pic]:

[pic] (1)

где [pic] — знак включения подмножества во множество. Выражение (1)

представляет собой запись отношения соответствия между множествами S и P

(или заданного на множествах S и P), первое из которых называется областью

определения, а второе — областью значений соответствия. Множество S

материальных точек s Земли отображается соответствием (1) во множество P

точек p физического пространства. Точки p, удовлетворяющие этому

соответствию, называются образами точки s, последние, в свою очередь,

являются прообразами точек p. Соответствие представляет собой обобщение

понятия функции, описывая не только однозначные зависимости, когда каждому

элементу из области определения (аргументу) соответствует один, и только

один, элемент из области значений (функция этого аргумента), но и

многозначные зависимости, когда каждому элементу из области определения

соответствует более чем один элемент из области значений, как это имеет

место, например, для стохастических связей.

Поскольку каждая материальная точка Земли совпадает с одной, и только

одной, точкой физического пространства,