Генерация матриц

МЕНЮ

Генерация матриц

Курсовая работа

"Генерация матриц"

Введение

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т.д.

Целью курсовой работы является разработка алгоритма и написание на его основе программы, которая генерирует квадратную матрицу по ее введенному определителю, размерности и диапазона элементов матрицы.

Данная курсовая работа состоит двух глав, включающих в себя каждая несколько параграфов и подпунктов.

В первой главе приведена теоретическая часть по генерации матриц, включающая основные понятия и определения теории матриц, основные теоремы теории матриц, дающие научную основу для разработки алгоритма генерации матриц и написании на его основе программы. Здесь вводятся основные операции над матрицами и детально изучаются свойства определителей, являющихся основой числовой характеристикой квадратных матриц.

Во второй главе рассказывается об основных проблемах, с которыми столкнулся при составлении алгоритма и написании программы, приводится алгоритм генерации матриц, описываются некоторые важные части программы, основывающейся на алгоритме, и приводится листинг программного продукта.

В заключении говорится о проблемах, с которыми столкнулся при составлении алгоритма и написании на его основе программы, и о путях усовершенствования предложенного алгоритма и программы.

1. Матрицы и определители

1.1 Матрицы. Действия с матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов (размера ).

Числа m и n называются порядками матрицы. Если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n - её порядком.

Для записи матрицы применяются либо сдвоенные черточки, либо круглые или квадратные скобки:

Для краткого обозначения матрицы часто используется либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ , либо .

Числа , входящие в состав данной матрицы, называются её элементами. В записи первый индекс означает номер строки, а второй индекс - номер столбца.

В случае квадратной матрицы

(1.1)

вводится понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ a11 a 22 … an n, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной диагональю матрицы называется диагональ an1 a(n-1)2 … a1n, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Прежде всего, будем считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдём к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц и одних и тех же порядков m и n называется матрица тех же порядков m и n, элементы ci j которой равны
(1.2)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись C=A+B. Операция составления суммы матриц называется их сложением.
Итак, по определению
=
=
Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2) непосредственно вытекает, что и операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:
1) переместительным свойством: A+B=B+A,
2) сочетательным свойством: (A+B)+C=A+(B+C).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на вещественное число ? называется матрица , элементы ci j которой равны
(1.3)
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C=?A или C=A?. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.
Из формулы (1.3) видно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (??) A = ?(?A);
2) распределительным свойством относительно суммы матриц: ? (A+B) = ?A + ?B;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (?+?) A = ?A + ?A.
Замечание. Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков m и n естественно назвать такую матрицу C тех же порядков m и n, которая в сумме с матрицей B даёт матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A - B.
Очень легко убедиться, что разность C двух матриц A и B может быть получена по правилу C = A + (- 1) B.
Перемножение матриц. Произведением матрицы , имеющей порядки, соответственно равные m и n, на матрицу , имеющую порядки, соответственно равные m и p, называется матрица , имеющая порядки, соответственно равные т и р, и элементы ci j, определяемые формуло

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Генерация матриц