 |
 |
 |
|
|||||||||
|
 | |||||||||||
|
 |
||||||||
|
МЕНЮ
|
БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Построение экономической модели с использованием симплекс-методаПостроение экономической модели с использованием симплекс-метода
Курсовая работа
Тема: Построение экономической модели с использованием симплекс-метода .
Работу выполнил студент УТФ-4-2 Кулаков О. А.
Оглавление .
Введение
Моделирование как метод научного познания.
Введение в симплекс-метод
1. Словесное описание 2. Математическое описание 3. Ограничения 4. Переменные 5. Целевая функция
Симплекс-метод .
1. Представление пространства решений стандартной задачи линейного программирования 2. Вычислительные процедуры симплекс-метода
Анализ результатов .
1. Оптимальное решение 2. Статус ресурсов 3. Ценность ресурса 4. Максимальное изменение запаса ресурса 5. Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли ( стоимости )
Моделирование как метод научного познания.
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний : техническое конструирование , строительство и архитектуру , астрономию , физику , химию , биологию и , наконец , общественные науки . Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в . Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками . Отсутствовала единая система понятий, единая терминология . Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания . Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений . Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний . Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале . Под моделирование понимается процесс построения , изучения и применения моделей . Оно тесно связано с такими категориями , как абстракция , аналогия , гипотеза и др . Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций , и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез. Главная особенность моделирования в том , что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей . Модель выступает как своеобразный инструмент познания , который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект . Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций , аналогий , гипотез , других категорий и методов познания . Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты ( или проблемы , относящиеся к этим объектам ) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств. Моделирование - циклический процесс . Это означает , что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй , третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и точняются, а исходная модель постепенно совершенствуется . Недостатки , обнаруженные после первого цикла моделирования , бусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели , можно исправить в последующих циклах . В методологии моделирования , таким образом , заложены большие возможности саморазвития .
Словесное описание
Фирма , производящая некоторую продукцию осуществляет её рекламу двумя способами через радиосеть и через телевидение . Стоимость рекламы на радио обходится фирме в 5 $ , а стоимость телерекламы - в 100$ за минуту . Фирма готова тратить на рекламу по 1000 $ в месяц . Так же известно , что фирма готова рекламировать свою продукцию по радио по крайней мере в 2 раза чаще , чем по телевидению . Опыт предыдущих лет показал , что телереклама приносит в 25 раз больший сбыт продукции нежели радиореклама . Задача заключается в правильном распределении финансовых средств фирмы .
Математическое описание .
X1 - время потраченное на радиорекламу . X2 - время потраченное на телерекламу . Z - искомая целевая функция , оражающая максимальный сбыт от 2-ух видов рекламы . X1=>0 , X2=>0 , Z=>0 ; Max Z = X1 + 25X2 ; 5X1 + 100X2 <=1000 ; X1 -2X2 => 0 Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП с двумя переменными . При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата . В данной главе рассматривается общий метод решения задач ЛП , называемый симплекс-методом . Информация , которую можно получить с помощью симплекс-метода , не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных . Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическую интерепритацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность . Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер : однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор , пока не будет получено оптимальное решение . Процедуры , реализуемые в рамках симплекс-метода , требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач линейного программирования . Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений , используемых при решении большинства оптимизационных задач . В данной главе рассматриваются итерационные процедуры такого рода , обеспечивающие решение задач с помощью моделей исследования операций . В гл 2 было показано , что правая и левая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками <= , = и => . Кроме того , переменные , фигурирующие в задачах ЛП , могут быть неотрицательными или не иметь ограничения в знаке . Для построения общего метода решения задач ЛП соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме , которую назовем стандатрной формой линейных оптимизационных моделей . При стандартной форме линейной модели 1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью ; 2. Значения всех переменных модели неотрицательны ; 3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации . Покажем , каким образом любую линейную модель можно привести к стандартной .
Ограничения
1. Исходное ограничение , записанное в виде неравенства типа <= ( =>) , можно представить в виде равенства , прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения ( вычитая избыточную переменную из левой части ) . Например , в левую часть исходного ограничения 5X1 + 100X2 <= 1000 вводистя остаточная переменная S1 > 0 , в результате чего исходное неравенство обращается в равенство 5X1 + 100X2 + S1 = 1000 , S1 => 0 Если исходное ограничение определяет расход некоторого ресурса , переменную S1 следует интерпретировать как остаток , или неиспользованную часть , данного ресурса . Рассмотрим исходное ограничение другого типа : X1 - 2X2 => 0 Так как левая часть этого ограничения не может быть меньше правой , для обращения исходного неравенства в равенство вычтем из его левой части избыточную переменную S2 > 0 . В результате получим X1 - 2X2 - S2 = 0 , S2 => 0 2. Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной , умножая оби части на -1 . Например равенство X1 - 2X2 - S2 = 0 эквивалентно равенству - X1 + 2X2 + S2 = 0 3. Знак неравенства изменяется на противоположный при умножении обеих частей на -1 . Например можно вместо 2 < 4 записать - 2 > - 4 , неравенство X1 - 2X2 <= 0 заменить на - X1 + 2X2 => 0
Переменные
Любую переменную Yi , не имеющую ограничение в знаке , можно представить как разность двух неотрицательных переменных : Yi=Yi’-Yi’’, где Yi’,Yi’’=>0. Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях , которые содержат исходную переменную Yi , а также в выражении для целевой функции . Обычно находят решение задачи ЛП , в котором фигурируют переменные Yi’ и Yi’’ , а затем с помощью обратной подстановки определяют величину Yi . Важная особенность переменных Yi’ и Yi’’ состоит в том , что при любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение , т.е. если Yi’>0 , то Yi’’=0, и наоборот . Это позволяет рассматривать Yi’ как остаточную переменную , а Yi’’ - как избыточную переменную , причем лишь одна из этих переменных может принимать положительное значение . Указанная закономерность широко используется в целевом программировании и фактически является предпосылкой для использования соответсвующих преобразований в задаче 2.30
Целевая функция
Целевая функция линейной оптимизационной модели , представлена в стандартной форме , может подлежать как максимизации , так и минимизации . В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную целевую функцию . Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции , взятой с противоположным знаком , и наоборот . Например максимизация функции Z = X1 + 25X2 эквивалентна минимизации функции ( -Z ) = -X1 - 25X2 Эквивалентность означает , что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения X1 , X2 , в обоих случаях будут одинаковы . Отличие заключается только в том , что при одинаковых числовых значениях целевых функций их знаки будут противоположны . Симплекс-метод . В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс , при котором , начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ) , осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор , пока не будет найдена точка , соответствующая оптимальному решению . Общую идею симплекс-метода можно проиллюстрировать на примере модели , посроенной для нашей задачи . Пространство решений этой задачи представим на рис. 1 . Исходной точкой алгоритма является начало координат ( точка А на рис. 1 ) . Решение , соответствующее этой точке , обычно называют начальным решением . От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке . Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-метода определяется следующими двумя правилами . 1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей . Этот переход осуществляется по границам ( ребрам ) пространства решений . 2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться . Таким образом , отыскание оптимального решения начинается с некоторой допустимой угловой точки , и все переходы осуществляются только к смежным точкам , причем перед новым переходом каждая из полученных точек проверяется на оптимальность . Определим пространство решений и угловые точки агебраически . Требуемые соотнощшения устанавливаются из указанного в таблице соответствия геометрических и алгебраических определений .
| |||||
|
Геометрическое определение |
Алгебраическое определение ( симплекс метод ) |
|||||
|
Пространство решений |
Ограничения модели стандартной формы |
|||||
|
Угловые точки |
Базисное решение задачи в стандартной форме |
Представление пространства решений стандартной задачи линейного программирования .
Линейная модель , построенная для нашей задачи и приведенная к стандартной форме , имеет следующий вид :
Максимизировать
Z = X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2
При ограничениях
5X1 + 100X2 + S1 = 1000
- X1 + 2X2 + S2 = 0
X1=>0 , X2=>0 , S1=>0 , S2=>0
Каждую точку пространства решений данной задачи , представленную на рис.1 , можно определить с помощью переменных X1 , X2 , S1 и S2 , фигурирующими в модели стандартной формы. При S1 = 0 и S2 = 0 ограничения модели эквивалентны равенствам , которые представляются соответствующими ребрами пространства решений . Увеличение переменных S1 и S2 будет соответствовать смещению допустимых точек с границ пространства решений в его внутреннюю область. Переменные X1 , X2 , S1 и S2 , ассоциированные с экстремальными точками А , В , и С можно упорядочить , исходя из того , какое значение ( нулевое или ненулевое ) имеет данная переменная в экстремальной точке .
Экстремальная точка
Нулевые переменные
Ненулевые переменные
А
S2 , X2
S1 , X1
В
S1 , X2
S2 , X1
С
S1 , S2
X1 , X2
Анализируя таблицу , легко заметить две закономерности:
1. Стандартная модель содержит два уравнения и четыре
неизвестных , поэтому в каждой из экстремальных точек две ( = 4 - 2 ) переменные должны иметь нулевые
значения .
2. Смежные экстремальные точки отличаются только
одной пе-
ременной в каждой группе ( нулевых и ненулевых переменных ) ,
Первая закономерность свидетельствует о возможности опре-
деления экстремальных точек алгебраическим способом
путем при-
равнивания нулю такого количества переменных , которое равно
разности между количеством неизвестных и числом уравнений .
В этом состоит сущность
свойства однозначности экстремальных
точек . На рис. 1 каждой неэкстремальной
точке соответствует
не более одной нулевой переменной . Так , любая точка внутренней
области пространства решений вообще не имеет ни
одной нулевой
переменной, а любая неэкстремальная точка ,
лежащая на границе ,
всегда имеет лишь одну нулевую переменную .
Свойство однозначности экстремальных точек
позволяет опре-
делить их алгебраическим методом. Будем считать , что линейная
модель стандартной формы содержит т уравнений и п ( т <= п ) не-
известных ( правые части ограничений — неотрицательные ) . Тогда
все допустимые экстремальные точки определяются как все
одно-
значные неотрицательные решения системы m уравнений , в ко-
торых п — m переменных равны нулю.
Однозначные решения такой системы уравнений,
получаемые
путем приравнивания к
нулю ( п — т ) переменных , называются
базисными решениями . Если базисное решение
удовлетворяет
требованию неотрицательности правых частей , оно называется
допустимым базисным решением. Переменные ,
имеющие нулевое
значение , называются
небазисными переменными , остальные —
базисными переменными.
Из вышеизложенного
следует , что при реализации симплекс-
метода алгебраическое определение базисных решений соответст-
вует идентификации
экстремальных точек , осуществляемой при
геометрическом представлении пространства решений .
Таким об-
разом , максимальное число итераций при использовании симплекс-
метода равно максимальному числу базисных решений задачи ЛП ,
представленной в
стандартной форме . Это означает , что количество
итерационных процедур симплекс-метода не превышает
Cпт= n! / [ ( n - m )!m! ]
Вторая из ранее
отмеченных закономерностей
оказывается
весьма полезной для построения
вычислительных процедур симп-
лекс-метода , при реализации которого осуществляется
последова-
тельный переход от одной экстремальной точки к другой, смежной с
ней . Так как смежные экстремальные точки отличаются только
одной переменной,
можно определить каждую последующую ( смеж-
ную) экстремальную точку путем замены одной из текущих не-
базисных ( нулевых ) переменных текущей базисной
переменной.
В нашем случае получено решение , соответствующее точке А , откуда
следует осуществить переход в точку В . Для этого нужно увеличивать небазисную переменную X2 от исходного нулевого значения до значе-
ния , соответствующего точке В ( см. рис. 1
). В точке B
переменная
S1 ( которая в точке А была базисной ) автоматически
обращается в
нуль и , следовательно , становится небазисной переменной
. Таким
образом , между множеством небазисных и множеством базисных
переменных происходит взаимообмен переменными X2 и
S1 . Этот
процесс можно наглядно представить в виде следующей таблицы.
Экстремальная точка
Нулевые переменные
Ненулевые переменные
А
S2 , X2
S1 , X1
В
S1 , X2
S2 , X1
Применяя аналогичную процедуру ко всем
экстремальным точкам
рис. 1 , можно убедиться в том , что любую
последующую экстре-
мальную точку всегда можно определить путем взаимной замены
по одной переменной в составе базисных и небазисных переменных
( предыдущей смежной точки ) . Этот фактор существенно упрощает
реализацию вычислительных процедур симплекс-метода.
Рассмотренный процесс
взаимной замены переменных приводит
к необходимости введения двух новых терминов .
Включаемой пе-
ременной называется небазисная в данный момент переменная ,
которая будет включена в множество базисных переменных на сле-
дующей итерации ( при переходе к смежной экстремальной точке ) .
Исключаемая переменная — это та базисная переменная , которая
на следующей итерации подлежит исключению из множества ба-
зисных переменных .
Вычислительные процедуры симплекс-метода .
симплекс-алгоритм состоит из следующих шагов.
Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы ,
опреде-
ляют начальное допустимое базисное решение путем приравнива-
ния к нулю п — т ( небазисных ) переменных.
Шаг 1. Из числа текущих небазисных ( равных нулю )
перемен-
ных выбирается включаемая в новый базис переменная , увеличение
которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если
такой переменной нет , вычисления прекращаются , так как текущее
базисное решение оптимально . В противном случае осуществляется
переход к шагу 2.
Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса
выбирается исклю-
чаемая переменная , которая должна принять нулевое значение ( стать
небазисной ) при введении в состав базисных новой переменной .
Шаг 3. Находится новое базисное решение ,
соответствующее
новым составам небазисных и базисных переменных . Осуществляется переход к шагу
1.
Поясним процедуры
симплекс-метода на примере решения нашей зада-
чи . Сначала необходимо представить целевую функцию и
ограничения модели в стандартной форме:
Z - X1 - 25X2 +0S1 -0S2 = 0 ( Целевая функция )
5X1 + 100X2 + S1 = 1000 ( Ограничение )
-X1 + 2X2 + S2 = 0 ( Ограничение )
Как отмечалось ранее , в качестве начального пробного
решения
используется решение системы уравнений , в которой две переменные принимаются
равными нулю . Это обеспечивает единст-
венность и допустимость получаемого решения . В рассматриваемом
случае очевидно, что подстановка X1 = X2 = 0 сразу же приводит к следующему результату: S1 = 1000 , S2 = 0
( т. е. решению , соответствующему точке А
на рис. 1 ) . Поэтому точку А можно использовать как начальное допустимое
решение . Величина Z в этой точке равна нулю , так как и X1 и
X2 имеют
нулевое значение . Поэтому , преобразовав уравнение целевой функции так , чтобы
его правая часть стала равной нулю , можно убедиться в том , что правые части
уравнений целевой функции и ограничений полностью характеризуют начальное
решение . Это имеет место во всех случаях , когда
начальный базис состоит из остаточных переменных.
Полученные результаты удобно представить в виде таблицы :
Базисные переменные
Z
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
1
-1
- 25
0
0
0
Z - уравнение
S1
0
5
100
1
0
1000
S1 -уравнение
S2
0
-1
2
0
1
0
S2 - уравнение
Эта таблица интерпретируется
следующим образом. Столбец
« Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S1 ,
S2 ,
значения которых
приведены в столбце « Решение » . При
этом подразумевается , что небазисные переменные X1 и X2
( не пред-
ставленные в первом столбце
) равны нулю . Значение целевой функ-
ции Z = 1*0 + 25*0 + 0*1000 + 0*1 равно нулю , что и показано в последнем
столбце таблицы .
Определим , является ли полученное пробное
решение наи-
лучшим ( оптимальным ) . Анализируя Z
- уравнение , нетрудно заме-
тить , что обе небазисные переменные X1 и
X2 ,
равные нулю , имеют
отрицательные коэффициенты . Всегда
выбирается переменная с большим абсолютным значением отрицательного
коэффициента ( в Z - уравнении ) , так как практический опыт вычислений показывает , что в этом случае оптимум достигается быстрее .
Это правило составляет основу используемого в
вычислительной
схеме симплекс-метода условия оптимальности ,
которое состоит в
том , что ,
если в задаче максимизации все небазисные переменные в
Z - уравнении имеют неотрицательные коэффициенты , полученное пробное решение является оптимальным . В противном случае в ка-
честве новой базисной переменной следует выбрать ту ,
которая имеет
наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент .
Применяя условие оптимальности к исходной
таблице , выберем
в качестве переменной , включаемой в базис , переменную Х2 . Исклю-
чаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных
переменных S1 , S2 . Процедура выбора исключаемой переменной
предполагает проверку условия допустимости , требующего , чтобы в качестве
исключаемой переменной выбиралась та из пере-
менных текущего базиса ,
которая первой обращается в нуль при уве-
личении включаемой переменной X2
вплоть до значения , соответствующего смежной экстремальной точке .
Интересующее нас отношение ( фиксирующее
искомую точку пе-ресечения и идентифицирующее исключаемую переменную ) можно
определить из симплекс-таблицы. Для этого в столбце , соответствующем вводимой
переменной X2 , вычеркиваются отрицательные и нулевые
элементы ограничений . Затем вычисляются отношения постоянных , фигурирующих в правых частях этих ограничений , к оставшимся элементам столбца ,
соответствующего вводимой переменной X2 . Исключаемой переменной будет та переменная текущего
базиса , для которой указанное выше отношение минимально.
Начальная симплекс-таблица для нашей задачи , получаемая после проверки условия допустимости ( т. е. после вычисления соответствующих отношений и определения исключаемой переменной ) , воспроизведена ниже . Для удобства описания вычислительных процедур , осуществляемых на следующей итерации , введем ряд необходимых определений . Столбец симплекс-таблицы , ассоциированный с вводимой переменной , будем называть ведущим столбцом . Строку , соответствующую исключаемой переменной , назовем ведущей строкой ( уравнением ) , а элемент таблицы , находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки , будем называть ведущим элементом .
После того как определены
включаемая и исключаемая пере-
менные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ) ,
следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществля-
ется методом исключения переменных , или методом Гаусса — Жордана . Этот
процесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов .
Тип 1 ( формирование ведущего уравнения ) .
Новая ведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент
Тип 2 ( формирование всех остальных уравнений , включая Z - yравнение ) .
Новое уравнение = Предыдущее уравнение —
é Коэффициент ù
ê ведущего столбца ê * ( Новая ведущая строка ) .
ê предыдущего ê
ë уравнения û
Выполнение процедуры типа 1 приводит к тому ,
что в новом
ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице .
В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэф-
фициенты , фигурирующие в ведущем столбце , становятся равными
нулю . Это эквивалентно получению базисного решения путем ис-
ключения вводимой переменной из всех уравнений , кроме ведущего .
Применяя к исходной таблице процедуру 1 , мы делим S2 - уравнение на ведущий элемент ,
равный 1 .
Базисные переменные
Z
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
S1
S2
0
-1/2
1
0
1/2
0
Чтобы составить новую симплекс-таблицу , выполним необходимые вычислительные процедуры типа 2 .
1. Новое Z - уравнение .
старое Z - уравнение : ( 1 -1 -25 0 0 0 )
( - ( -25 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )
( 1 -131/2 0 0 121/2 0 )
2. Новое S1 - уравнение
старое S1 - уравнение : ( 0 5 100 1 0 1000 )
( - 100 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )
( 0 55 0 1 -50 1000 )
Новая симплекс-таблица будет иметь вид :
Базисные переменные
Z
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
1
-131/2
0
0
121/2
0
Z - уравнение
S1
0
55
0
1
-50
1000
S1 -уравнение
X2
0
-1/2
1
0
1/2
0
X2 - уравнение
В новом решении X1 = 0 и S2 = 0 . Значение Z не изменяется .
Заметим ,
что новая симплекс-таблица обладает такими же ха-
рактеристиками , как и предыдущая :
только небазисные переменные
X1 и S2
равны нулю , а значения базисных переменных ,
как и раньше ,
представлены в столбце « Решение » . Это в точности
соответствует
результатам , получаемым при использовании метода Гаусса—Жор-
дана .
Из последней таблицы следует , что на очередной итерации в со-
ответствии с условием оптимальности в качестве вводимой перемен-
ной следует выбрать X1
, òак как
коэффициент при этой переменной в
Z-ypaвнении равен -131/2 . Исходя из условия допустимости , определяем , что исключаемой переменной будет S1 . Отношения , фигурирующие в правой части таблицы , показывают , что в новом базисном решении значение включаемой переменной X1 будет равно 1000/55 ( = минимальному отношению ) . Это приводит к увеличению целевой функции на ( 1000/55 ) * ( -131/2 ) = ( 2455/11 ) .
К получению симплекс-таблицы , соответствующей новой итерации , приводят следующие вычислительные операции метода Гаусса—Жордана.
1) Новое ведущее S1 - уравнение = Предыдущее S1 - уравнение / ( 55 ) .
Базисные переменные
Z
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
S1
0
1
0
1/55
- 50/55
1000/55
X2
2) Новое Z - уравнение = Предыдущее Z - уравнение - ( -131/2 ) * Новое /ведущее уравнение :
( 1 -131/2 0 0 121/2 0 )
- ( -131/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55 1000/55 )
( 1 0 0 27/110 5/22 2455/11 )
3) Новое X2 - уравнение = Предыдущее X2 - уравнение - ( -1/2 ) * Новое ведущее уравнение :
( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )
- ( - 1/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55 1000/55 )
( 0 0 1 1/110 1/22 91/11 )
В результате указанных
преобразований получим следующую симп-
лекс-таблицу .
Базисные переменные
Z
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
1
0
0
27/110
5/22
2455/11
X1
0
1
0
1/55
-50/55
1000/55
X2
0
0
1
1/110
1/22
91/11
В новом базисном решении X1=1000/55 и X2=91/11 . Значение Z увеличилось с 0 ( предыдущая симплекс-таблица ) до 2455/11 ( последняя симплекс-таблица ) . Этот результирующий прирост целевой функции обусловлен увеличением X1 от О до 1000/55 , так как из Z - строки предыдущей симплекс-таблицы следует , что возрастанию данной переменной на единицу соответствует увеличение целевой функции на( -131/2 ) .
Последняя симплекс-таблица
соответствует оптимальному реше-
нию задачи, так как в Z - уравнении ни одна
из небазисных переменных не фигурирует с отрицательным коэффициентом.
Получением этой pезультирующей
таблицы и завершаются вычислительные процедуры симплекс-метода .
В рассмотренном выше примере алгоритм
симплекс-метода ис-
пользован при решении задачи , в которой целевая функция подлежала максимизации
. В случае минимизации целевой функции в этом
алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности :
в качестве новой базисной переменнойследует выбирать ту переменную , которая в Z - уравнении имеет наибольший положительный коэффициент . Условия допустимости в обоих случаях ( максимизации и минимизации ) одинаковы .
Представляется целесообразным дать теперь
окончательные формулировки обоим условиям ,
используемым в симплекс-методе .
Условие оптимальности . Вводимой переменной в задаче максимизации ( минимизации ) является небазисная переменная , имеющая в Z -уравнении наибольший отрицательный ( положительный ) коэффициент , В случае равенства таких коэффициентов для нескольких небазисных переменных выбор делается произвольно , если все коэффициенты при небазисных переменных в Z - уравнении неотрицательны (неположительны) , полученное решение является оптимальным .
Условие допустимости , в задачах максимизации и минимизации в качестве исключаемой переменной выбирается та базисная переменная , для которой отношение постоянной в правой части соответствующего ограничения к ( положительному ) коэффициенту ведущего столбца минимально. В случае равенства этого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается произвольно .
Оптимальное решение
С точки зрения практического
использования результатов ре-
шения задач ЛП классификация переменных , предусматривающая
их разделение на базисные и небазнсные , не имеет значения и при
анализе данных , характеризующих оптимальное решение , может
не учитываться . Переменные , отсутствующие в столбце « Базисные
переменные » , обязательно имеют нулевое значение . Значения ос-
тальных переменных приводятся в столбце « Решение » . При интер-
претации результатов оптимизации в нашей задаче нас прежде всего интересует
количество времени , которое закажет наша фирма на радио и телевидение , т. е. значения управляемых переменных X1 и X2
. Используя данные ,
содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения , основные результаты
можно представить в следующем виде :
|
|
Управляемые переменные
Оптимальные значения
Решение
X1
1000/55
Время выделяемое фирмой на телерекламу
X2
91/11
Время выделяемое фирмой на радиорекламу
Z
2455/11
Прибыль получаемая от рекламы .
Заметим, что Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25 * 91/11 = 2455/11 . Это решение соответствует данным заключительной симплекс-таблицы .
Статус ресурсов
Будем относить ресурсы к дефицитным или
недифицитным в зависимости от того , полное или частичное их использо-
вание предусматривает оптимальное решение задачи . Сейчас цель
состоит в том , чтобы получить соответствующую информацию непос-
редственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Од-
нако сначала следует четко уяснить следующее . Говоря о ресурсах ,
фигурирующих в задаче ЛП , мы подразумеваем , что установлены
некоторые максимальные пределы их запасов , поэтому в соответст-
вующих исходных ограничениях должен использоваться знак <= .
Следовательно , ограничения со знаком => не могут рассматриваться
как ограничения на ресурсы
. Скорее , ограничения такого типа отра-
жают то обстоятельство , что решение должно удовлетворять опре-
деленным требованиям , например обеспечению минимального спро-
са или минимальных отклонений от установленных структурных
характеристик производства (
сбыта ) .
В модели , построенной для нашей задачи , фигурирует ограничение со знаком <= . Это требование можно рассматривать как ограничение на соответствующий « ресурс » , так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению « представительства » фирмы на рынке сбыта .
Из вышеизложенного следует ,
что статус ресурсов ( дефицитный
или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить не-
посредственно из результирующей симплекс-таблицы , обращая вни-
мание на значения остаточных переменных . Применительно к нашей задаче можно
привести следующую сводку результатов :
Ресурсы
Остаточная переменная
Статус ресурса
Ограничение по бюджету
S1
Дефицитный
Превышение времени рекламы радио над теле
S2
Дефицитный
Положительное значение
остаточной переменной указывает на
неполное использование соответствующего ресурса , т . е . данный
ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная рав-
на нулю , это свидетельствует о полном потреблении соответствующе-
го ресурса. Из таблицы видно , что наши ресурсы являются дефицитными . В случае
недефицитности любое увиличение ресурсов сверх установленного максимального значения
привело бы лишь к тому , что они стали бы еще более недефнинтными . Оптимальное
решение задачи при этом осталось бы неизменным.
Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет
улучшить ре-
шение ( увеличить прибыль ) , — это остаточные переменные S1 и S2
, по-
скольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно ,
что они дефицитные . В связи с этим логично поставить следующий
вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочте-
ние при вложении дополнительных средств на увеличение их запа-
сов , с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ на
этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы , где рас-
сматривается ценность различных ресурсов .
Ценность ресурса
Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения опти-
мального значения Z , приходящегося на единицу прироста объема
данного ресурса .
Информация для оптимального решения задачи представлена в симплекс-таблице . Обратим внимание на значения коэффициентов Z - уравнения , стоящих при переменных начального базиса S1 и S2 . Выделим для удобства соответстзующую часть симплекс-таблицы :
Базисные переменные
Z
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
1
0
0
27/110
5/22
2455/11
Как следует из теории решения задач ЛП , ценность ресурсов всегда можно определить по значениям коэффициентов при переменных начального базиса , фигурирующих в Z - уравнении оптимальной симплекс-таблицы , таким образом Y1 = 27/110 , а Y2 = 5/22 .
Покажем , каким образом аналогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Рассмотрим Z - уравнение симплекс-таблицы для оптимального решения нашей задачи
Z = 2455/11 - ( 27/110S1 + 5/22S2 ) .
Положительное приращение переменной S1
относительно ее текущего
нулевого значения приводит к пропорциональному
уменьшению Z ,
причем коэффициент пропорциональности равен 27/110 . Но , как следует из первого ограничения модели :
5X1 + 100X2 + S1 = 1000
увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег
выделеных на рекламу ( далее мы будем использовать в тексте , как первый ресурс
) . Отсюда следует , что уменьшение количества денег выделеных на
рекламу вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом пропорциональности , равным 27/110 .
Так как
мы оперируем с линейными функциями , полученный вывод можно
обобщить , считая , что и увеличение
количества денег выделеных на рекламу ( эквивалентное
введению избыточной
переменной S1 < 0 ) приводит к пропорциональному
увеличению Z
с тем же коэффициентом пропорциональности ,
равным 27/110 . Аналогичные рассуждения справед-
ливы для ограничения 2 .
Несмотря на то что ценность различных ресурсов
, определяемая
значениями переменных Yi , была представлена в стоимостном выражении , ее нельзя отождествлять с действительными
це-
нами , по которым
возможна закупка соответствующих ресурсов .
На самом деле речь идет о некоторой мере , имеющей экономическую
природу н количественно характеризующей ценность
ресурса только относительно полученного оптимального значения целевой функции .
При изменении ограничении модели соответствующие экономические
оценки будут меняться даже тогда , когда оптимизируемый процесс
предполагает применение тех же ресурсов . Поэтому при характерис-
тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать
такие терминыт , как теневая цена , скрытая цена , или более специ-
фичный термин — двойственная оценка .
Заметим , что теневая цена ( ценность ресурса
) характеризует ин-
тенсивность улучшения оптимального значения Z .
Однако при этом
не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,
при которых интенсивность улучшения целевой функции остается
постоянной . Для большинства практических ситуаций логично пред-
положить наличие верхнего предела увеличения запасов , при пре-
вышении которого соответствующее ограничение становится избы-
точным , что в свою очередь приводит к новому базисному решению
и соответствующим ему новым теневым ценам . Ниже определяется
нитервал значений запасов ресурса , при которых соответствую-
щее ограничение не становится избыточным .
Максимальное изменение запаса ресурса
При решении вопроса о том , запас какого из
ресурсов следует
увеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены
Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,
при которых теневая цена данного ресурса , (
фигурирующая в заклю-
чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд
дополнительных вычислений . Рассмотрим сначала
соответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , как
требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы
для оптимального решения .
В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета составит 1000 + D1 . При положительной величине D1 запас данного ресурса увеличивается , при отрицательной — уменьшается . Как правило , исследуется ситуация , когда объем ресурса увеличивается ( D1 > 0 ) , однако , чтобы получить результат в общем виде , рассмотрим оба случая .
Как изменится
симплекс-таблица при изменении величины за-
паса ресурса на
D1 ? Проще всего получить ответ на этот вопрос .
если ввести D1 в правую часть первого ограничения начальной
сим-
плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-
ния , соответствующие последовательности итераций . Поскольку
правые части ограничений никогда не используются в качестве
ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерации D1 будет
оказывать влияние только на правые части ограничений .
Уравнение
Значения элементов правой части на соответствующих итерациях
( начало вычислений )
1
2 ( оптимум )
Z
0
0
2455/11
1
1000
1000 + D1
1000/55 + D1
2
0
0
91/11
Фактически вce
изменения правых частей ограничений , обуслов-
ленные введением D1 , можно определить непосредственно по данным ,
содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , что
на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-
ставляет собой сумму двух величин: 1)
постоянной и 2) члена , ли-
нейно зависящего от D1 .
Постоянные соответствуют числам , которые
фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения D1 . Коэффициенты при D1 во вторых слагаемых равны коэффициентам при S1 на той же итерации . Так , например , на последнеи
итерации ( оптимальное решение ) постоянные ( 2455/11 ; 1000/55 ; 91/11
) представляют собои числа , фигурирующие в правых частях ограничении
оптимальной симплекс-таблицы до введения D1. Коэффициенты ( 27/110 ; 1/55 ; 1/110
) равны коэффициентам при S1 в той же симплекс-таблице потому , что эта переменная
связана только с первым ограничением . Другими словами , при анализе влияния
изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами
при переменной S2 .
Какие выводы можно сделать из полученных результатов?
Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-
таблицы , изменение запаса ресурса может повлиять
только на
допустимость решения . Поэтому D1 не может принимать значений ,
при которых какая-либо из (
базисных ) переменных становится отри-
цательной . Из этого следует ,
что величина D1 должна быть огра-
ничена таким интервалом значений , при которых
выполняется ус-
ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-
рующей симплекс-таблице , т . е .
X1 = 1000/55 + ( 1/55 )D1 => 0 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/110 )D1 => 0 ( 2 )
Для определения допустимого
интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .
Случай 1: D1 => 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными .
Случай 2: D1 < 0 . Рåøàåì íåðàâåíñòâà : ( 1 )
( 1/55 )D1 => - 1000/55 . Из этого следует , что D1 => - 1000
( 2 )
( 1/110 )D1 => - 91/11 . Из этого следует , что D1 => - 1000
Объединяя результаты ,
полученные для обоих случаев , можно
сделать вывод , что при - 1000 <=
D1 <= + ¥ решение
рассматриваемой зада-
чи всегда будет допустимым , любое значение D1 ,
выходящее за
пределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения и
новой совокупности базисных переменных .
Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :
Запас 2-ого ресурса изменился на D2 т . е . запас рекламного времени составит 0 + D2 . Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на D2 ïðîèëëþñòðèðîâàíî íèæå .
Уравнение
Значения элементов правой части на соответствующих итерациях
( начало вычислений )
1
2 ( оптимум )
Z
0
0
2455/11
1
1000
1000
1000/55
2
0
0 + D2
91/11 + D2
Найдем интервал ограничивающий величину D2
X1 = 1000/55 - ( 50/55 )D2 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/22 )D2 ( 2 )
Для определения допустимого
интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .
Случай 1: D2 => 0 Рåøàåì íåðàâåíñòâà : ( 1 )
( 50/55 )D2 <= 1000/55 из этого неравенства следует , что D2 <= 20
( 2 )
Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .
Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2 .
D2 Î [ 0 ; 20 ]
Случай 2: D2 < 0 . Рåøàåì íåðàâåíñòâà : ( 1 )
( 50/55 )D2 => - 1000/55 . Из этого следует , что D2 <= 20
( 2 )
( 1/22 )D2 => - 91/11 . Из этого следует , что D2 => - 200
Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2 .
D2 Î [ - 200 ; 0 ]
Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]
Максимальное изменение коэффициентов удельной
прибыли ( стоимости )
Наряду с определением
допустимых изменений запасов ресур-
сов представляет интерес и установление интервала допустимых
изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .
Следует отметить , что уравнение целевой функции никогда не
используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-
бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние
только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы . Это
означает , что такие изменения могут сделать полученное
решение
неоптимальным . Наша цель заключается в том , чтобы найти интер-
валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-
сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-
тимальные значения
переменных остаются неизменными .
Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле-
ния , положим , что удельный объем сбыта ,
ассоциированной с переменной
X1 изменяется от 1 до 1 + d1 где d1 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 1 + d1 )X1 + 25X2
Если воспользоваться данными
начальной симплекс-таблицы и
выполнить все вычисления , необходимые для ( получения заключн-
тельной симплекс-таблицы , то последнее Z-уравнение будет
выгля-
деть следующим образом:
Базисные переменные
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
0
0
27/110+1/55d1
5/22-50/55d1
2455/11+1000/55d1
|
|
Коэффициенты при базисных переменных X1 , X2 и остаточных я равными нулю . Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d1 , только наличием членов , содержащих d1 . Коэффициенты при d1 равны кoэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения
Базисные переменные
X1
X2
S1
S2
Решение
X1
1
0
1/55
-50/55
1000/55
Мы рассматриваем X1 - уравнение
, так как коэффициент
именно при
этон переменной в выражении для целевои функции изменился
на d1 .
Оптимальные значения переменных будут
оставаться неизмен-
ными при значениях d1 ,
удовлетворяющих условию неотрицатель-
ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-
базисных переменных в Z-уравнении . Таким образом , должны
выполняться следующие неравенства :
27/110 + 1/55d1 => 0
5/22 - 50/55d1 => 0
Из первого неравенства получаем , что d1 => - 13,5 , а из второго следует что d1 <= 1/4 . Эти результаты определяют пределы изменения
коэффициента C1 в виде следующего соотношения : - 13,5 <= d1 <= 1/4 . Та-
ким образом , при уменьшении коэффициента целевой функции при
переменной X1 до значения , равного 1 + ( - 13,5 ) = - 12,5 или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются
неизменными . Однако оптимальное значение Z будет изменяться
( в соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55d1 , где -
13,5 <= d1 <= 1/4
X2 изменяется от 25 до 25 + d2 где d2 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 25 + d2 )X2 + X1
Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной , которой поставлено в соответствие ограничение , фигурирующее в симплекс-таблице . Однако такое ограничение имеется лишь в том случае , когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 ) . Если переменная небазисная , то в столбце , содержащем базисные переменные , она не будет представлена .
Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому , что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этот коэффициент . Рассмотрим в качестве иллюстрации случай , когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной ) изменяется от 0 до d3 . Выполнение преобразований , необходимых для получения заключительной симплекс таблицы , приводит к следующему результирующему Z-уравнению :
Базисные переменные
X1
X2
S1
S2
Решение
Z
0
0
27/110+1/55d1
5/22
2455/11
 |
НОВОСТИ | |
| Изменения | ||
| Прошла модернизация движка, изменение дизайна и переезд на новый более качественный сервер | ||
|
СЧЕТЧИК | |
| БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА | ||
 |
© 2010 | |