Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»

Задание:     На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).

Дано:

m = 4, кг

V0 = 12, м/с

Q = 12, Н

R = 0,8V2, Н

L = 2.5, м

Fx = -8cos(4t), Н

Определить:

Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).

Решение:

1.      Пусть груз – материальная точка. Изобразим  и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:

Далее находим:

Учитывая, что Vx = V:

 или

Выведем:

где g = 10 м/с.

Тогда:

Разделяя переменные и интегрируя:

По Н.У. при x = 0:  V = V0, откуда:

;

Получим:

;

Откуда:

   и      

В результате:     

Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:

2.      Рассмотрим движение на BC.

Рассмотрим движение ВС (V0 = V). Изобразим , , и .

 или , где

При t=0; V = V0 = VB = 8.29 м/с:

С2 = VB = 8.29 м/с.

К-3    Вариант  18

                                            авр

                                                              А

                                      aA                                                      Cv

                                                                     авр

                                                             ac

                                             ацс

                       Eoa                                            aцс                            C

aB

                Woa

aB                  О В

                                                                                                           Y

 aB

X

Дано:       ОА=10   АВ=10   АС=5    Woa=2    EOA=6

Найти:     Ускорения во всех точках

Va=Woa*OA=20

Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45

Wab=Va/Cva=4/21/2

Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20

Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2

aAbp= Eoa*OA=60

aAцс=WOA2*OA=40

aBцс= WOA2*AB=80

aB= aAbp +aAцс +aABЦС +aABbp

X:      21/2/2*aB= aAцс +aABBP

Y:      21/2/2*aB= aABP +aABЦС

aABBP ===========  ==MOI===\KOI0-U=140-40=100

EAB=100/10=10

aB= aAвp +aAцс +aACЦС +aACвp

aACвp = EAB*АВ=50

aACЦС= WAВ2*АС=40

X:      21/2/2*ac= aAцс +aABBP

Y:      21/2/2*ac= aABP +aABЦС

aC=( acx2 +acy2)1/2

«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».

Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и

для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

Решение:

Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:

- траектория точки в координатной форме.

Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):

Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени

Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.

Исходные данные:

Решение:

Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:

 - траектория точки в координатной форме.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):

«Определение реакций опор твердого тела».

Задание:     Найти реакции опор конструкции.

Дано:

Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см

Определить:

Реакции опор конструкции.

Решение:

К раме ABCD приложены сила тяжести , сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

Уравнения проекций сил на оси координат:

Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.

Результаты вычислений заносим в таблицу:

Проверка:

Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.

В 18.                                                       Д – 1.

Дано:  VA = 0,   a = 30°,   f = 0,1,  ℓ = 2 м,   d = 3 м.  Найти: h и t.

Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют  силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1 :        = G×sina - F ,   (F = f×N = fG×cosa)  Þ       = g×sina - fg×cosa,

Дважды интегрируя уравнение, получаем:

= g×(sina - f×cosa)×t + C1 ,   x1 = g×(sina - f×cosa)×t2/2 + C1t + C2 ,

По начальным условиям (при  t = 0  x10 = 0 и = VA = 0) находим С1 и С2 :  C1 = 0 ,  C2 = 0,

Для определения  VB и t  используем условия:  в т.B  (при t = t) ,  x1 = ℓ  , = VB .      Решая систему уравнений находим:

x1 = ℓ = g×(sina - f×cosa)×t2/2         Þ            2 = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×t2/2 ,  Þ  t = 0,99 c ,

= VB = g×(sina - f×cosa)×t         VB = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,

Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения

в проекции на оси X  , Y :                             =  0 ,     = G  ,

Дважды интегрируем уравнения:  = С3  ,                 = gt + C4 ,

x = C3t + C5 ,          y = gt2/2 + C4t + C6 ,

Для определения С3 , C4 , C5 , C6 ,  используем начальные условия (при t = 0):           x0 = 0 ,     y0 = 0 ,   = VB×cosa ,  = VB×sina ,

Отсюда находим : = С3 ,  Þ C3 = VB×cosa ,             = C4 , Þ  C4 = VB×sina

x0 = C5 ,  Þ C5 = 0  ,                         y0 = C6 ,  Þ  C6 = 0

Получаем уравнения : = VB×cosa , = gt + VB×sina

x = VB×cosa×t  ,         y = gt2/2 + VB×sina×t

Исключаем параметр t :   y =         gx2          + x×tga  ,

2V2B×cos2a

В точке  С   x = d = 3 м ,  у = h. Подставляя в уравнение VB и d ,  находим h:    h  =       9,81×32          + 3×tg30° =  5,36 м   ,

2×4,032×cos230°