Сила Земного притяжения

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Сила Земного притяжения

Сила Земного притяжения

 from original page N 17...

ìåòàëè ðàçíûå ìàññû, êîòîðûå ïðîïîðöèîíàëüíû ïðèòÿæåíèþ ýòèõ ïðåäìåòîâ ïîëåì. Ýòî ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà. Ìû ãîâîðèì, ÷òî ðàçíûå ïðåäìåòû èìåþò ðàçíûé âåñ, ïîñêîëüêó îíè îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè ãðàâèòàöèîííûìè ìàññàìè, êîòîðûå ïðèòÿãèâàþòñÿ ïîëåì òÿãîòåíèÿ. Òàêèì îáðàçîü, ãðàâèòàöèîííûå ìàññû ïî îïðåäåëåíèþ ïðîïîðöèîíàëüíû âåñàì, à òàêæå ñèëå òÿæåñòè. Ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà îïðåäåëÿåò, ñ êàêîé ñèëîé òåëî ïðèòÿãèâàåòñÿ Çåìëåé. Ïðè ýòîì òÿãîòåíèå âçàèìíî: åñëè Çåìëÿ ïðèòÿãèâàåò êàìåíü, òî êàìåíü òî÷íî òàêæå ïðèòÿãèâàåò Çåìëþ. Çíà÷èò, ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà òåëàîïðåäåëÿåò òàêæå, íàñêîëüêî ñèëüíî îíî ïðèòÿãèâàåò äðóãîå òåëî, Çåìëþ. Òàêèì îáðàçîì, ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà èçìåðÿåò êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, íà êîòîðîå äåéñòâóåò çåìíîå ïðèòÿæåíèå, èëè êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, îáóñëàâëèâàþùåå ãðàâèòàöèîííûå ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó òåëàìè.

Ãðàâèòàöèîííîå ïðèòÿæåíèå äåéñòâóåò íà äâà îäèíàêîâûõ êóñêà ñâèíöà âäâîå ñèëüíåå, ÷åì íà îäèí. Ãðàâèòàöèîííûå ìàññû êóñêîâ ñâèíöà äîëæíû áûòü ïðîïîðöèîíàëüíû èíåðòíûì ìàññàì, ïîñêîëüêó ìàññû òîãî è äðóãîãî âèäà, î÷åâèäíî, ïðîïîðöèîíàëüíû ÷èñëó àòîìîâ ñâèíöà. Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ ê êóñêàì ëþáîãî äðóãîãî ìàòåðèàëà, ñêàæåì, âîñêà, íî êàê ñðàâíèòü êóñîê ñâèíöà ñ êóñêîì âîñêà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñèìâîëè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò ïî èçó÷åíèþ ïàäåíèÿ òåë âñåâîçìîæíûõ ðàçìåðîâ ñ âåðøèíû íàêëîííîé Ïèçàíñêîé áàøíè, òîò, êîòîðûé ïî ëåãåíäå ïðîèçâîäèë Ãàëëèëåé. Ñáðîñèì äâà êóñêà ëþáîãî ìàòåðèàëà ëþáûõ ðàçìåðîâ. Îíè ïàäàþò ñ îäèíàêîâûì óñêîðåíèåì g. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî è ñîîáùàþùàÿ åìó óñêîðåíèå6 - ýòîïðèòÿæåíèå Çåìëè, ïðèëîæåííîå ê ýòîìó òåëó. Ñèëà ïðèòÿæåíèÿ òåë Çåìëåé ïðîïîðöèîíàëüíà ãðàâèòàöèîííîé ìàññå. Íî ñèëû òÿæåñòè ñîîáùàþò âñåì òåëàì îäèíàêîâîå óñêîðåíèå g. Ïîýòîìó ñèëà òÿæåñòè, êàê è âåñ, äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà èíåðòíîé ìàññå. Ñëåäîâàòåëüíî, òåëà ëþáîé ôîðìû ñîäåðæàò îäèíàêîâûå ïðîïîðöèè îáåèõ ìàññ.

Åñëè ïðèíÿòü 1 êã â êà÷åñòâå åäèíèöû îáåèõ ìàññ, òî ãðàâèòàöèîííàÿ è èíåðòíàÿ ìàññû áóäóò îäèíàêîâû ó âñåõ òåë ëþáûõ ðàçìåðîâ èç ëþáîãî ìàòåðèàëà è â ëþáîì ìåñòå.

Âîò êàê ýòî äîêàçûâàåòñÿ. Ñðàâíèì ýòàëîí êèëîãðàììà, ñäåëàííûé èç ïëàòèíû6 ñ êàìíåì íåèçâåñòíîé ìàññû. Ñðàâíèì èõ èíåðòíûå ìàññû, ïåðåìåùàÿ ïîî÷åðåäíî êàæäîå èç òåë â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé ñèëû è èçìåðÿÿ óñêîðåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàññà êàìíÿ ðàâíà 5,31 êã. Çåìíîå òÿãîòåíèå â ýòîì ñðàâíåíèè íå ó÷àñòâóåò. Çàòåì ñðàâíèì ãðàâèòàöèîííûå ìàññû îáîèõ òåë, èçìåðèâ ãðàâèòàöèîííîå ïðèòÿæåíèå ìåæäó êàæäûì èç íèõ è êàêèì-íèáóäü òðåòüèì òåëîì, ïðîùå âñåãî Çåìëåé. Ýòî ìîæíî ïðîäåëàòü ïóòåì âçâåøèâàíèÿ îáîèõ òåë. Ìû óâèäèì, ÷òî ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà êàìíÿ òîæå ðàâíà 5,31 êã.

Áîëåå ÷åì çà ïîëñòîëåòèÿ äî òîãî êàê Íüþòîí ïðåäëîæèë ñâîé çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, Èîãàíí Êåïëåð (1571-1630) îáíàðóæèë, ÷òî “çàïóòàííîå äâèæåíèå ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ìîæíî áûëî áû îïèñàòü ñ ïîìîùüþ òðåõ ïðîñòûõ çàêîíîâ. Çàêîíû Êåïëåðà óêðåïèëè âåðó â ãèïîòåçó Êîïåðíèêà î òîì, ÷òî ïëàíåòû âðàùàþòñÿ âîêðóã Ñîëíöà, à.

Óòâåðæäàòü â íà÷àëå XVII âåêà, ÷òî ïëàíåòû âîêðóã Ñîëíöà, à íå âîêðóã Çåìëè, áûëî âåëè÷àéøåé åðåñüþ. Äæîðäàíî Áðóíî îòêðûòî çàùèùàâøèé ñèñòåìó Êîïåðíèêà, êàê åðåòèê áûë îñóæäåí ñâÿòîé èíêâèçèöèåé è ñîææåí íà êîñòðå. Äàæå âåëèêèé Ãàëëèëåé, íåñìîòðÿ íà òåñíóþ äðóæáó ñ ïàïîé ðèìñêèì, áûë çàòî÷åí â òþðüìó, îñóæäåí èíêâèçèöèåé è âûíóæäåí áûë ïóáëè÷íî îòðå÷üñÿ îò ñâîèõ âçãëÿäîâ.

 òå âðåìåíà ñâÿùåííûìè è íåïðèêîñíîâåííûìè ñ÷èòàëèñü ó÷åíèÿ Àðèñòîòåëÿ è Ïòîëåìåÿ, ãëàñèâøèå, ÷òî îðáèòû ïëàíåò âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå ñëîæíûõ äâèæåíèé ïî ñèñòåìå îêðóæíîñòåé. Òàê äëÿ îïèñàíèÿ îðáèòû Ìàðñà òðåáîâàëàñü äþæèíà, èëè îêîëî òîãî, îêðóæíîñòåé ðàçëè÷íîãî äèàìåòðà. Èîãàíí Êåïëåð ïîñòàâèë çàäà÷ó “äîêàçàòü”, ÷òî Ìàðñ è Çåìëÿ äîëæíû îáðàùàòüñÿ âîêðóã Ñîëíöà. Îí ïûòàëñÿ íàéòè îðáèòó ïðîñòåéøåé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû, êîòîðàÿ òî÷íî áû ñîîòâåòñòâîâàëà ìíîãî÷èñëåííûì èçìåðåíèÿì ïîëîæåíèÿ ïëàíåòû. Ïðîøëè ãîäû óòîìèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé, ïðåæäå ÷åì Êåïëåð ñìîã ñôîðìóëèðîâàòü òðè ïðîñòûõ çàêîíà, î÷åíü òî÷íî îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå âñåõ ïëàíåò:

Ïåðâûé çàêîí: Êàæäàÿ ïëàíåòà äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó, â

                              îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ

                              Ñîëíöå.

Âòîðîé çàêîí: Ðàäèóñ-âåêòîð (ëèíèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ Ñîëíöå

                             è ïëàíåòó) îïèñûâàåò çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè

                             âðåìåíè ðàâíûå ïëîùàäè

Òðåòèé çàêîí: Êâàäðàòû ïåðèîäîâ îáðàùåíèÿ ïëàíåò

                             ïðîïîðöèîíàëüíû êóáàì èõ ñðåäíèõ

                             ðàññòîÿíèé îò Ñîëíöà:

                             R13/T12 = R23/T22

Çíà÷åíèå òðóäîâ Êåïëåðà îãðîìíî. Îí îòêðûë çàêîíû, êîòîðûå çàòåì Íüþòîí ñâÿçàë ñ çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿþ Êîíå÷íî, ñàì Êåïëåð íå îòäàâàë ñåáå îò÷åòà â òîì, ê ÷åìó ïðèâåäóò åãî îòêðûòèÿ. “Îí çàíèìàëñÿ óòîìèòåëüíûìè íàìåêàìè ýìïèðè÷åñêèõ ïðàâèë, êîòîðûå â áóäóùåì äîëæåí áûë ïðèâåñòè ê ðàöèîíàëüíîìó âèäó Íüþòîí”. Êåïëåð íå ìîã îáúÿñíèòü, ÷åì îáóñëîâëåíî ñóùåñòâîâàíèå ýëëèïòè÷åñêèõ îðáèò, íî âîñõèùàëñÿ òåì, ÷òî îíè ñóùåñòâóþò.

Íà îñíîâå òðåòüåãî çàêîíà Êåïëåðà Íüþòîí ñäåëàë âûâîä, ÷òî ñèëû ïðèòÿæåíèÿ äîëæíû óáûâàòü ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ è ÷òî ïðèòÿæåíèå äîëæíî èçìåíÿòüñÿ êàê (ðàññòîÿíèå)-2. Îòêðûâ çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, Íüþòîí ïåðåíåñ ïðîñòîå ïðåäñòàâëåíèå î î äâèæåíèè Ëóíû íà âñþ ïëàíåòíóþ ñèñòåìó. Îí ïîêàçàë, ÷òî ïðèòÿæåíèå ïî âûâåäåííûì èì çàêîíàì îáóñëîâëèâàåò äâèæåíèå ïëàíåò ïî ýëëèïòè÷åñêèì îðáèòàì, ïðè÷åì â îäíîì èç ôîêóñîâ ýëëèïñà äîëæíî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå. Åìó óäàëîñü ëåãêî âûâåñòè äâà äðóãèõ çàêîíà Êåïëåðà, êîòîðûå òàêæå âûòåêàþò èç åãî ãèïîòåçû âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ýòè çàêîíû ñïðàâåäëèâû, åñëè ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî ïðèòÿæåíèå Ñîëíöåì. Íî íóæíî ó÷èòûâàòü è äåéñòâèå íà äâèæóùóþñÿ ïëàíåòó äðóãèõ ïëàíåò, õîòÿ â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå ýòè ïðèòÿæåíèÿ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðèòÿæåíèåì Ñîëíöà.

Âòîðîé çàêîí Êåïëåðà ñëåäóåò èç ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòè ñèëû ïðèòÿæåíèÿ îò ðàññòîÿíèÿ, åñëè ýòà ñèëàäåéñòâóåò ïî ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé öåíòðû ïëàíåòû è Ñîëíöà. Íî ïåðâîìó è òðåòüåìó çàêîíàì Êåïëåðà óäîâëåòâîðÿåò òîëüêî çàêîí îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ñèë ïðèòÿæåíèÿ êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ.

×òîáû ïîëó÷èòü òðåòèé çàêîí Êåïëåðà, Íüþòîí ïðîñòî îáúåäèíèë çàêîíû äâèæåíèÿ ñ çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Äëÿ ñëó÷àÿ êðóãîâûõ îðáèò ìîæíî ðàññóæäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòü ïëàíåòà, ìàññà êîòîðîé ðàâíà m, äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R âîêðóã Ñîëíöà, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà Ì. Ýòî äâèæåíèå ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè íà ïëàíåòó äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà F = mv2/R, ñîçäàþùàÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå v2/R. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðèòÿæåíèå ìåæäó Ñîëíöåì è ïëàíåòîé êàê ðàç è ñîçäàåò íåîáõîäèìóþ ñèëó. Òîãäà:

GMm/r2 = mv2/R

è ðàññòîÿíèå r ìåæäó m è M ðàâíî ðàäèóñó îðáèòû R. Íî ñêîðîñòü

v =                        = 2 

ãäå Ò - âðåìÿ, çà êîòîðîå ïëàíåòà ñîâåðøàåò îäèí îáîðîò. Òîãäà

×òîáû ïîëó÷èòü òðåòèé çàêîí Êåïëåðà, íóæíî ïåðåíåñòè âñå R è Ò â îäíó ñòîðîíó óðàâíåíèÿ, à âñå îñòàëüíûå âåëè÷èíû - â äðóãóþ:

R3/T2 = GM/4p2

Åñëè ïåðåéòè òåïåðü ê äðóãîé ïëàíåòå ñ äðóãèì ðàäèóñîì îðáèòû è ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ, òî íîâîå îòíîøåíèå îïÿòü áóäåò ðàâíî GM/4p2; ýòà âåëè÷èíà áóäåò îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ ïëàíåò, òàê êàê G -óíèâåðñàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à ìàññà Ì - îäíà è òà æå äëÿ âñåõ ïëàíåò, âðàùàþùèõñÿ âîêðóã Ñîëíöà.