Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ

Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы

Реферат

Исполнитель:

Студентка группы М-42 Локтева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

2. Методическая схема изучения первообразной функции

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Заключение

Литература

Введение

Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания. В связи с этим развивающими целями будут: а) введение нового метода решения задач ( в частности нахождение площади объёма фигуры) показать известную универсальность математических методов; б) показ учащимся основных этапов решения прикладных задач средствами математики.

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

Теме "Первообразная и интеграл" предшествует тема "Производная и её применение". Такая последовательность изучения материала создаёт предпосылки для: 1) понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений; 2) осознание учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла - основа метода математического анализа. С одной стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира. С другой - как инструмент, с помощью которого с учётом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.

Основу содержания темы составляют два типа вопросов, каждый из которых группируется около двух понятий: "Первообразная", "Интеграл". Основное внимание при изучении уделяется: 1) нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблиц первообразных и правил нахождения первообразных; 2) вычислению площадей криволинейной трапеции.

В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:

· введение понятий первообразной и интеграла;

· ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;

· раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:

· провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

Теоретический материал включает в себя понятия первообразной и её основное свойство понятие интеграла функции; связь между понятиями "интеграл" и "первообразная", которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница; формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции.

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки, например: "Найти такую первообразную функцию, график которой проходит через данную точку".

2. Методическая схема изучения первообразной функции

В школьном учебнике были "испытаны" различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.

Методическая схема изучения первообразной:

1) рассмотреть примеры взаимно обратных операций;

2) ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования;

3) выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция есть первообразная другой данной функции ", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции ";

4) ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;

5) составить таблицу первообразных;

6) ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;

7) решить физические задачи с применением первообразной.

Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени скорость тела равна 0, т.е. , то при свободном падении тело к моменту времени пройдет путь: . Продифференцировав ее, получаем ; - ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки , требуется найти закон изменения скорости и координату . Для решения таких задач служит операция интегрирования.

При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число - их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть "восстановлено" выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание - операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: . Выполнив обратную операцию - извлечение квадратного корня - получаем два значения: 3 и -3.

Дифференцирование функции приводит к новой функции , которая является производной функции Пусть теперь известно, что производная некоторой функции равна , т.е.:; требуется найти функцию .

Операция нахождения функции по ее производной называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать следующие результаты: ; ; и т.д. Функция называется первообразными функции . Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка .

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку.

Целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в зависимости от условия предложенной для решения задачи - с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути, если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А(1;2)).

Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям.

Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).

Изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.

Например, введение третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k0) и b - постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:

Найти производные функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);

Найти хотя бы одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).

Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: "Пусть f - непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S - площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a)."

,

где C - некоторая постоянная;

доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования:

,

где f(x) - функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.

Предложенные упражнения полезны ещё и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между понятиями "производная", "первообразная", "интеграл" и их свойствами.

Понятие "интеграла" вводится для функции непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи, например, такие:

Задача№1 Возможно ли вычислить ? (подынтегральная функция имеет точку разрыва ), принадлежащую отрезку ).

Задача№2 Найти ошибку в вычислении интеграла:

(о том, что ошибка действительно допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным числом).

Задача№3 При каких значениях пределов интегрирования интеграл существует: ?

В точках 5 и -5 подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:

Задача№4 Вычислить: а)

; б) ; в)

(в двух последних случаях интегралы не могут быть вычислены, т.к. подынтегральная функция не определена в каждой точке отрезка, заданного проделами интегрирования).

Установление связи понятий "интеграл" и "первообразная" происходит через обращения к площади соответствующей криволинейной трапеции. Уделяя внимание геометрическому смыслу интеграла, не следует ограничиваться только геометрической иллюстрацией в процессе решения задач на вычисление интегралов. Целесообразно специально подчеркнуть, что, опираясь на геометрический смысл интеграла, иногда получаем возможность: установить существование более простого по сравнению с рассмотренным способом вычисления интегралов (например, по симметричному относительно точки 0 промежутку от четной или нечетной функции). Сделать это можно, обратившись к задачам: не только вычислять площадь фигур, но и находить числовые значения интеграла, вычисление которых по известным учащимся формулам выполнить не удается. Например: .

Задача№1 Показать, что если f - непрерывная, четная на отрезке [-a,a] функция, то:

.

Задача№2 Показать, что если f - непрерывная, нечетная на отрезке [-a,a] функция, то:.

Вычислить:

; ; .

Заключение

В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:

· введение понятий первообразной и интеграла;

· ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;

· раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:

провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.