Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра МПМ

Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

Реферат

Исполнитель:

Студентка группы М-42 Головачева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от 0° до 180°

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры

4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению

Заключение

Литература

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:

· в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;

· затем введенные понятия обобщаются для углов от до ;

· тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:

Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);

Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;

Утверждение функциональной точки зрения на , , и (трактовка , , и как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);

Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;

Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

В курсе "Алгебра 9" учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения и определимы при , т.к угла поворота можно найти соответствующее значение дробей и . Выражение имеет смысл при , кроме углов поворота , , …, т.к. имеет смысл дробь .

Каждому допустимому значению соответствует единственное значение , , и . Поэтому , , и являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функциями.

Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:

1. область значения и - , для и - множество всех действительных чисел

2. промежутки знакопостоянства: , то значит зависит от знака и т.д.

3. , и являются нечетными функциями, а является четной функцией

4. при изменении угла на целое число оборотов значение , , , не изменится (под обратным понимаем поворот на ).

Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. .

Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.

Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где .

Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:

1 четверть: , ;

2 четверть: , ; и т.д.

Определение тригонометрической функции выглядит так:

Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной

окружностью. Пусть точка единичной окружности получена при повороте точки на угол в радиан. Ордината точки - это синус угла . Числовая функция, заданная формулой , называется синусом числа, каждому числу ставится в соответствие число .

Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:

; .

Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:

Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).

Для функции выбираем отрезок , для функции - и делим их на то же равное число частей.

По окружности находим соответствующее число значений этих функций.

Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.

Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.

Функции тригонометрических функций для углов от до

(прямоугольный треугольник, планиметрия);

Тригонометрические функции для углов от до (тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");

Тригонометрические функции для любого действительного числа.

Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.

К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.

Например:

В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .

В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.

В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см, . Определите .

В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.

Найдите угол B.

Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.

Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:

;

;

;

;

.

;

, ч.т.д.

; .

С другой стороны:

- теорема сложения.

и по доказанной формуле.

Для доказательства суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:

, , , .

Проведём радиус , длина которого равна , на угол : и получили радиус , где и на угол и получим радиус , где .

, : , .

 - прямоугольник. Повернём его на угол вокруг точки :

; ; , т.е.

; , т.е:

; , по

Аналогично:

Тогда:

и т.д.

К функциям от углов можно прийти и из геометрических соображений.

Формулы приведения для и выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:

{определяем четность, в которой оканчивается угол - II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти - " - ". Изменяется ли название функции - нет, поэтому:} = - cos .

Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.

,

а затем применяется уже известная формула.

Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив .

Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:

={ , }=

=,

но:

Таким образом:

Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.

Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):

1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;

2) основные тригонометрические тождества:

Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;

3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;

4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель - сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:

Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:

Задача №1.

Доказать тождество:

Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:

8cos4+sin8=2sin8cos4+2sin4cos4=2cos4(sin8+sin4)=4cos4sin6cos2, и т.д.

Задачи №2.

Упростить выражение

а)

Можно применить формулы понижения степени:

=

{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: } =

б)

Задача №3

Преобразовать в произведение:

а) cos5+sin8+cos9+cos12=(cos5+cos12)+(cos8+cos9)=

=2cos17/2cos7/2+2cos17/2cos/2=2cos17/2(cos7/2+cos/2)=

=4cos17/2cos2cos3/2=4cos3/2cos2cos17/2

б) 3+4cos4+cos8=3(1+cos4)+(cos4+cos8)=6cos22+

+2cos6cos2=2 cos2(3cos2+cos6)=2cos2((cos2+|cos6)+

+2cos2)=2cos2(2cos4cos2+2cos2)=4cos22(cos4+cos2)=

=4cos22cos22=8cos42

Задача №4

Найти sin4+cos4, если известно, что:

sin-cos=1/2

sin4+cos4=(sin2 +cos2)2-2sin2cos2=1-2sin2cos2=

=1-1/2sin22={sin4-cos=1/2(sin-cos)2=

=1-2sincos=1/4sin2=3/4}=

Задача №5

Вычислить:

sin=-cos(2arctg4/3)={обозначим arctg4/3 через y, тогда получим cos2y, который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу и получим}=