Линия уравнений в основной школе является, пожалуй, одной из главных, и её теоретические положения наилучшим образом связаны с практикой. Уравнения используются в том числе и в математическом моделировании.

При изучении уравнений так же, как и в других разделах школьного курса математики, необходимо особо выделить их теоретическую основу и связи этого раздела с остальным содержанием курса математики, с другими содержательно-методическими линиями. В первом случае речь идёт о формализованном изучении наиболее важных классов уравнений и их систем (в том числе и на функциональной основе); во втором - чаще всего о решении текстовых задач; и в третьем, главным образом, - о последовательном расширении числовых систем, так как все числовые области, рассматриваемые в школьном курсе алгебры и началах анализа, как правило, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем.

Чтобы получить сведения не только о правильности или неправильности конечного результата выполненной деятельности, но и о самой деятельности, необходимо организовать проверку знаний, умений и навыков учащихся. Контроль учебной деятельности учащихся позволяет учителю оценивать получаемые ими знания, умения, навыки, вовремя оказать необходимую помощь и добиваться поставленных целей обучения, а так же позволяет учителю не только правильно оценить уровень усвоения учащимися изучаемого материала, но и увидеть свои собственные удачи и промахи.

Все вышесказанное и обусловливает актуальность проблемы нашего исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся в основной школе.

Предмет исследования - контроль знаний учащихся при изучении линии уравнений в основной школе.

Цель исследования заключается в изучении возможности организации контроля знаний учащихся при изучении линии уравнений на уроках алгебры в 5-9 классах.

Гипотеза исследования: использование изложенных в данной работе теоретических положений и методических рекомендаций способствует организации более эффективного, полного и объективного контроля знаний и умений учащихся при изучении уравнений, усиливает подготовку школьников по данной теме.

Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

1. Изучить учебно-методическую литературу по проблеме исследования и выделить цели, функции, основные виды и методы контроля; проанализировать различные формы проверки знаний и умений школьников.

2. Изучить требования к знаниям и умениям учащихся при изучении линии уравнений в основной школе.

3. Провести анализ изложения материала по линии уравнений в школьных учебниках алгебры.

4. Составить методические рекомендации по осуществлению контроля при изучении линии уравнений в основной школе.

5. Осуществить опытное преподавание.

Для решения сформулированных задач были использованы следующие методы исследования: изучение научно-методической литературы, педагогической литературы и периодических изданий по математике по проблеме исследования; анализ программы и учебных пособий по математике для общеобразовательных школ; опытное преподавание в МОУ СОШ им. С. С. Ракитиной г. Мураши и МОУ СОШ с УИОП №37 г. Кирова.

Глава I. Теоретические основы контроля знаний, умений и навыков учащихся

§1. Цели контроля знаний и умений учащихся

Проверка знаний, умений и навыков учащихся является важной составной частью процесса обучения. В процессе изучения математики учащиеся должны овладеть множеством математических понятий, их свойств, отношений, а также должны уметь обнаруживать и обосновывать эти свойства, применять их при решении практических задач. Изучение характера усвоения учащимися учебного материала, оценка их знаний и умений, выявление уровня умственного развития и развития познавательных способностей -- необходимая сторона процесса обучения, составляющая внутреннее содержание каждого его звена. Поэтому, в данной работе рассмотрим цели, задачи контроля, для выяснения роли проверки в процессе обучения математике рассмотрим ее наиболее значимые функции, виды, в соответствии с формами обучения рассмотрим формы и методы контроля знаний и умений учащихся.

Контроль является частью процесса обучения. Контроль - это выявление и сравнение (на определенном этапе обучения) результата учебной деятельности с требованиями, которые задаются к этому результату программой. Причем, контроль знаний и умений конкретного ученика предусматривает оценку этих знаний и умений только по результатам его личной учебной деятельности.

Составным компонентом контроля является проверка знаний. Основной дидактической функцией проверки знаний учащихся по математике является обеспечение обратной связи между учителем и учащимися, что включает в себя: выявление недостатков течения учебного процесса, выявление пробелов знаний у учащихся, определение степени усвоения учебного материала по математике. Кроме проверки контроль содержит в себе оценивание (как процесс) и выставление отметки (результата оценивания).

Основная цель контроля знаний и умений состоит в обнаружении достижений, успехов учащихся; в указании путей совершенствования, углубления знаний, умений, с тем, чтобы создавались условия для последующего включения школьников в активную творческую деятельность.

Эта цель в первую очередь связана с определением качества усвоения учащимися учебного материала - уровня овладения знаниями, умениями и навыками, предусмотренными программой по математике. Конкретизация основной цели контроля связана с обучением школьников приемам взаимоконтроля и самоконтроля, формированием потребности в самоконтроле и взаимоконтроле, а также предполагает воспитание у учащихся таких качеств личности, как ответственность за выполненную работу, проявление инициативы. Одной из важнейших целей контроля знаний и умений учащихся следует считать проверку работы учителя для корректирования подготовки и проведения уроков. Правильно поставленный контроль может и должен дать учителю четкое представление о качестве его работы, о допущенных им ошибках, путях их своевременного устранения.

Не менее важная цель проверки - мотивирование регулярной, напряженной и целенаправленной работы учащихся, стимулирование их внимательности, сосредоточенности на уроке и при самостоятельных занятиях. Интенсивность и регулярность работы учащихся зависит главным образом от частоты и регулярности контроля. От регулярности контроля зависит и длительность сохранения в памяти учащихся усвоенных знаний. При регулярном контроле создаются наилучшие условия приобретения умений и навыков, развития мышления учащихся. Контроль знаний дает возможность учащимся сопоставить свою работу с требованиями учителя и внести, если нужно, необходимые коррективы в свою подготовку. В ходе контроля учащемуся и учителю становятся известными недоработки учащегося. Благодаря этому, учащийся может представить себе, над чем, он должен дополнительно поработать, а учитель -- в чем может состоять его помощь учащемуся. Контроль знаний и умений учащихся способствует повторению и закреплению материала, проверяя учащегося по сравнительно небольшой части изученного, предусмотренного программой, учитель может судить об усвоении всего его объема.

Подготовка и процедура контроля способствуют развитию устной и письменной речи учащихся, их способности последовательно излагать свои мысли, четкости и логичности мышления.

Контроль осуществляется в полном соответствии с принципами обучения. Он должен быть научно обоснованным, систематичным и последовательным, обеспечивать сознательность и активность учащихся в обучении, быть наглядным и доступным, способствовать формированию устойчивых и прочных знаний, умений и навыков ([40], [27]).

Задачи контроля в процессе обучения разносторонни:

* установить готовность учащихся к восприятию и усвоению новых знаний (установить необходимые внутрипредметные и межпредметные связи);

* получить информацию о характере самостоятельной работы учащихся в процессе обучения;

* выявить трудности, ошибки учащихся и причины их возникновения;

* определить эффективность организации, методов и средств обучения;

* выявить степень правильности, объем, глубину усвоенных знаний, умений и навыков [44].

Таким образом, перечисленные цели и задачи контроля определяют основные функции контроля знаний учащихся, которые рассмотрим подробно в следующем параграфе.

§2. Функции контроля знаний и умений учащихся

Контроль, как и все другие компоненты учебного процесса, выполняет определенные функции. В научно-методической литературе по теории и методике обучения математике выделяют следующие наиболее значимые функции проверки: контролирующую, обучающую, диагностическую, прогностическую, развивающую, ориентирующую и воспитывающую [40].

1. Контролирующая функция состоит в выявлении состояния знаний и умений учащихся, уровня их умственного развития, в изучении степени усвоения приемов познавательной деятельности, навыков рационального учебного труда. При помощи контроля определяется исходный уровень для дальнейшего овладения знаниями, умениями и навыками, изучается глубина и объем их усвоения. Сравнивается планируемое с действительными результатами, устанавливается эффективность используемых учителем методов, форм и средств обучения.

2. Обучающая функция контроля заключается в совершенствовании знаний и умений, их систематизации. В процессе проверки учащиеся повторяют и закрепляют изученный материал. Они не только воспроизводят ранее изученное, но и применяют знания и умения в новой ситуации, мобилизуют определенные способы решения задач, определенные приемы учебно-познавательной деятельности. Проверка помогает школьникам выделить главное, основное в изучаемом материале, уточнить содержание рассматриваемого вопроса, сделать проверяемые знания и умения более ясными, точными и действенными. Проверка способствует обобщению и систематизации знаний, выработке соответствующих данному этапу обучения умений и навыков [51].

3. Сущность диагностической функции проверки состоит в получении информации об ошибках, недочетах, пробелах в знаниях и умениях учащихся и порождающих их причинах. Здесь важно получить информацию не только о причинах данного состояния знаний учащихся, но и о степени влияния этих причин на качество знаний, умений и навыков учащихся. Результаты диагностических проверок дают материал об истоках затруднений учащихся в овладении материалом, о числе, характере и причинах ошибок, что позволяет выбрать наиболее действенный индивидуальный подход, акцентировать внимание на подбор достаточно полной системы упражнений, более действенной методики обучения и в общем плане уточнить направление дальнейшего совершенствования содержания, методов и средств обучения.

4. Прогностическая функция проверки служит получению опережающей информации об учебно-воспитательном процессе. В результате проверки получают основания для прогноза о ходе определенного отрезка учебного процесса: достаточно ли сформированы конкретные знания, умения и навыки для усвоения последующей порции учебного материала (раздела, темы). Результаты прогноза используют для создания модели дальнейшего поведения учащегося, допускающего сегодня ошибки данного типа или имеющего определенные пробелы в системе приемов познавательной деятельности. Прогноз помогает получить верные выводы для дальнейшего планирования и осуществления учебного процесса.

5. Развивающая функция контроля состоит в стимулировании познавательной активности учащихся, в развитии их творческих способностей. Контроль обладает исключительными возможностями в развитии учащихся. В процессе контроля развиваются речь, память, внимание, воображение, воля и мышление школьников. Контроль оказывает большое влияние на развитие и проявление таких качеств личности, как способности, склонности, интересы, потребности.

6. Сущность ориентирующей функции контроля - в получении информации о степени достижения цели обучения отдельным учеником и классом в целом - насколько усвоен и как глубоко изучен учебный материал. Контроль ориентирует учащихся в их затруднениях и достижениях. Вскрывая пробелы, ошибки и недочеты учащихся, он указывает им направления приложения сил по совершенствованию знаний и умений. Контроль помогает учащемуся лучше узнать самого себя, оценить свои знания и возможности.

7. Воспитывающая функция контроля состоит в воспитании у учащихся ответственного отношения к учению, дисциплины, аккуратности, честности, в приучении учащихся к систематической работе, а также в развитии навыков самоконтроля и самооценки, без которых успешное продвижение ученика в познавательной сфере едва ли возможно. Проверка побуждает школьников более серьезно и регулярно контролировать себя при выполнении заданий. Она является условием воспитания твердой воли, настойчивости, привычки к регулярному труду. Только тот контроль можно считать достаточно результативным, если он способствовал повышению качества знаний школьников и укреплению их веры в свои силы [51].

Выделение функций контроля подчеркивает его роль и значение в процессе обучения. В учебном процессе сами функции проявляются в разной степени и различных сочетаниях. Например, при текущей проверке усвоения учебного материала по математике доминирующей должна быть обучающая функция, а при итоговом контроле - контролирующая. Реализация выделенных функций на практике делает контроль более эффективным, а также эффективней становится и сам учебный процесс.

§3. Педагогические требования к организации контроля

Теорией и практикой обучения установлены следующие педагогические требования к организации контроля за учебной деятельностью учащихся:

1. Индивидуальный характер контроля, требующий осуществления контроля за работой каждого ученика, за его личной учебной работой, не допускающей подмены результатов учения отдельных учащихся итогами работы коллектива (группы или класса) и наоборот.

2. Систематичность, регулярность проведения контроля на всех этапах процесса обучения, сочетание его с другими сторонами учебной деятельности учащихся.

3. Всесторонность, заключающаяся в том, что контроль должен охватывать все разделы учебной программы, обеспечивать проверку теоретических знаний, интеллектуальных и практических умений и навыков учащихся.

4. Объективность контроля, исключающая преднамеренные, субъективные и ошибочные оценочные суждения и выводы учителя, основанные на недостаточном изучении школьников или предвзятом отношении его к некоторым из них.

5. Дифференцированный подход, учитывающий специфические особенности каждого учебного предмета и отдельных его разделов, а также индивидуальные качества учащихся, требующий применения в соответствии с этими особенностями различной методики проведения контроля и педагогического такта учителя.

6. Единство требований учителей, осуществляющих контроль за учебной работой учащихся в данном классе.

Соблюдение указанных требований обеспечивает надежность контроля и выполнение им своих задач в процессе обучения [45].

§4. Виды контроля

Существуют различные виды контроля знаний учащихся. В схеме 1 представлена классификация по различным основаниям.

Схема 1

1. В соответствии с формами обучения на практике выделяют 3 вида контроля: индивидуальный, групповой (вместе с разновидностью - уплотненным опросом) и фронтальный (вместе с массовыми проверками).

При индивидуальном контроле каждый школьник получает свое задание, которое он должен выполнить без посторонней помощи. Эта форма контроля целесообразна в том случае, если требуется выяснить индивидуальные знания, способности и возможности отдельных учащихся. Каждый ученик показывает результаты самостоятельной умственно-практической деятельности. Учитель выявляет правильность ответа, его последовательность, полноту и глубину, самостоятельность суждений и выводов, степень развития логического мышления, культуру речи и тому подобное. Учитывая значение и многофункциональность проверки, на практике стремятся охватить индивидуальной проверкой каждого ученика класса, причем неоднократно. Учитель намечает когда, кого, с какой целью спросить, какие для этого использовать средства.

При групповом контроле класс временно делится на несколько групп (от 2 до 10 учащихся) и каждой группе дается проверочное задание. В зависимости от цели контроля группам предлагают одинаковые задания или дифференцированные: проверяют результаты письменно-графического задания, которое ученики выполняли по двое, или практического, выполняемого каждой четверкой учащихся, или проверяют точность, скорость и качество выполнения конкретного задания (в форме дидактической игры или соревнования) по звеньям. Групповую форму организации контроля применяют: при повторении с целью обобщения и систематизации учебного материала, выделении приемов и методов решения задач, при акцентировании внимания учащихся на наиболее рациональных способах выполнения заданий, на лучшие из вариантов доказательства теоремы и тому подобное.

При фронтальном контроле задания предлагаются всему классу. В процессе этого контроля изучается правильность восприятия и понимания учебного материала, качество словесного, графического, предметного оформления, степень закрепления в памяти. Учителя интересует сознательность в ответах учащихся, обоснованность и доказательность [40].

2. В соответствии с местом в процессе обучения используются различные виды контроля: предварительный, текущий, тематический и итоговый [45].

Предварительный контроль направлен на выявление знаний, умений и навыков учащихся по предмету или разделу, который будет изучаться. В V класс приходят учащиеся с различным уровнем подготовленности. Чтобы спланировать свою работу, учитель должен знать, кто что может и знает. Это поможет ему определить, на чем следует больше задерживать внимание учащихся, какие вопросы требуют больше времени, а на чем следует только остановиться, поможет определить индивидуальный подход к каждому ученику.

Текущий контроль осуществляется в повседневной работе с целью проверки усвоения предыдущего материала и выявления пробелов в знаниях учащихся. Он проводится, прежде всего, с помощью систематического наблюдения учителя за работой класса в целом и каждого ученика в отдельности на всех этапах обучения.

Тематический контроль осуществляется периодически по мере прохождения новой темы, раздела и имеет целью систематизацию знаний учащихся. Этот вид контроля проходит на повторительно-обобщающих уроках и подготавливает к контрольным мероприятиям: устным и письменным зачетам.

Итоговый контроль проводится в конце четверти, полугодия, всего учебного года, а также по окончании обучения в начальной, неполной средней и полной средней школе.

3. В зависимости от того, кто осуществляет контроль за результатами деятельности учащихся, выделяют внешний, взаимный контроль и самоконтроль.

Внешний контроль (осуществляется учителем над деятельностью ученика). Компонентами такого контроля являются:

1. Уточнение целей изучения данного отрезка учебного материала и установление конкретного содержания контроля.

2. Выбор видов, форм, способов и средств контроля, соответствующих поставленным целям.

3. Различные способы выражения результатов контроля: оценка и отметка.

Внешний контроль может осуществляться учителем как групповой, индивидуальный или фронтальный контроль.

Взаимный контроль (осуществляется учеником над деятельностью товарища) содействует выработке таких качеств личности, как честность и справедливость, коллективизм. Взаимный контроль помогает также учителю осуществлять проверку знаний учащихся. В массовой школе сравнительно часто используется взаимная проверка организационной готовности к уроку (констатирующей взаимоконтроль выполнения домашнего задания) и частичная, эпизодическая взаимопроверка знаний учащихся (рецензирование ответов на уроке, рецензирование письменных работ). Систематическая же взаимная проверка знаний, умений, навыков применяется весьма редко [23].

Взаимопроверка знаний значительно активизирует деятельность учащихся, повышает интерес к знаниям и даже нравится им. В ходе взаимного контроля раскрываются индивидуальные особенности детей, их взаимоотношения с товарищами.

Самоконтроль (осуществляется учеником над собственной деятельностью). Постоянного внимания учителя требует проблема воспитания у учащихся веры в свои способности. Известно, что многие ученики боятся приступать к решению задач, алгоритм решения которых им неизвестен. Иногда проявляется страх перед трудностями, неумение преодолевать их самостоятельно. Выход здесь только один -- прививать учащимся умения и навыки самоконтроля.

Это важно с воспитательной, психолого-педагогической точки зрения. Ведь при этом ученики фактически участвуют в управлении своей собственной учебной деятельностью. Это порождает у них удовлетворенность своими занятиями, своей работой, позволяет им поверить в себя, в свои познавательные способности, открывает простор для творческой инициативы и самостоятельности. Укажем приемы формирования критического отношения учеников к результатам своей работы. Учащимся предлагается рассмотреть решения ряда примеров и оценить их. Обычно эти решения содержат типичные ошибки, которые надо обнаружить. Иногда требуется выяснить, верен ли ответ к заданию. Навыки самоконтроля можно развивать и на занимательных задачах, основанных на обычной житейской смекалке. Их полезно рассматривать как в младших, так и в старших классах. Эти задачи привлекают внимание всех учащихся, даже тех, которые не имеют особых успехов в математике. Трудно удержать интерес учащихся к предмету, если преследуется единственная цель: научить школьников выполнять действия по данному образцу. Поэтому наряду с изучением алгоритмов возникает необходимость учить осознанному, творческому их применению. Приведем один распространенный прием такого обучения. Сразу после того, как учащиеся освоили все этапы алгоритма, им предлагается задача, которая решается по изученному алгоритму, но не самым рациональным способом. Более красивое решение получается, если не следовать алгоритму, а просто проанализировать условие задачи и сделать верные выводы. Отметим еще несколько приемов работы учителя в формировании потребности в самоконтроле при обучении математике.

1. Давать определение иногда имеет смысл не в окончательном виде. Более содержательные беседы с классом получаются тогда, когда ученики предлагают свой вариант определения, который затем уточняется.

2. Почти все упражнения, которые предлагаются ученикам, сформулированы позитивно (доказать, найти). Появились также упражнения и другого типа (верно ли, проверить), но их очень мало. И совсем нет упражнений на опровержение утверждений, в то время как они чрезвычайно полезны. Упражнения такого типа легко получить из задач позитивных, особенно на доказательство.

3. Если ученик дал письменное решение задачи (на доске или в тетради) с ошибкой, то в иных случаях не надо торопиться с выставлением оценки. Если есть возможность дать ему время на нахождение собственной ошибки, то ее нужно использовать. Если ошибка будет найдена, то оценку снижать не стоит.

4. Класс работает самостоятельно. Выборочно просматривая некоторые решения, учитель видит разнообразные ошибки, наиболее поучительные из них стоит показать всем учащимся класса.

5. На уроке предложена задача и сразу ответ к ней. У кого-то получился другой ответ. Не стоит спешить с помощью - окажем ее только тогда, когда самостоятельные попытки найти ошибку ни к чему не привели.

6. Весьма рискованный, но заслуживающий внимания прием, когда учитель берется с ходу решать достаточно сложную задачу, причем на доске. Если ее и удается решить, то вряд ли наилучшим способом. Ученики еще раз убеждаются, что первый вариант решения не всегда является наилучшим. В результате проведения описанной работы у учащихся начинает формироваться потребность в самоконтроле.

Обычным способом организации самоконтроля в процессе обучения математике является указание ответа (известного заранее или сообщаемого учениками друг другу). Некоторым учащимся в случае трудоемких заданий вполне достаточно свериться с окончательным результатом. Другим требуется дать промежуточные ответы. Это помогает им самостоятельно выполнять учебные задания даже в тот момент, когда у них еще не выработаны прочные навыки.

Среди учебных заданий, стимулирующих самоконтроль в работе учащихся, определенное место занимают задания с программированным контролем. Такие задания позволяют увеличить интенсивность самостоятельной учебной работы учащихся, удобны для организации фронтальной работы и коллективного обсуждения полученных индивидуальных результатов.

Последовательно работая над привитием умений, связанных с контролем и самоконтролем в математической деятельности учащихся, можно добиться заметных результатов. При этом растет общая математическая культура школьников, их работы и ответы становятся более грамотными [23].

4. Всякий контроль предполагает сопоставление, сравнение выполняемой деятельности с какими-то образцами или представлениями о ней. В зависимости от того, что берется за образец, возможны следующие виды контроля: контроль по конечному результату, пошаговый контроль, контроль по известным условиям или параметрам деятельности.

Контроль по конечному результату. Таким видом контроля является сверка полученного решения с имеющимся ответом или сверка результатов выполнения задания с образцом такого выполнения на доске или в тетради товарища. К этому же виду контроля относится сверка решения задачи с результатом ее решения другим способом или с помощью особых приемов проверки. При этом способе контроля принимается во внимание главным образом результат деятельности, а не ее ход или состав.

Пошаговый контроль можно осуществлять в тех случаях, когда ориентировочная основа деятельности сформулирована в виде пошаговой программы (алгоритма, эвристической схемы). Такой контроль является более предпочтительным, чем контроль по результату с точки зрения обучающего эффекта. Дело в том, что всякий контроль, кроме прямого эффекта, а именно, установления степени соответствия выполняемого действия образцу или представлению о нем, имеет еще и побочный эффект, ибо в процессе контроля ученик осознает сущность и характер своей деятельности, применяемые при этом методы и приемы и тем самым более сознательно и обобщенно их усваивает. Естественно, что при пошаговом контроле этот эффект сравнительно больший, чем при первом виде контроля, ибо сама деятельность в этом случае предстает перед учеником в более развернутом виде.

Контроль по известным условиями или параметрам деятельности.

Примером такого контроля является проверка решения задачи по ее условиям. В геометрических задачах на построение эта проверка выделяется даже в особый этап решения: доказательство, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи. Однако более существенным примером такого контроля является контроль по какому-либо качественному параметру деятельности, например, по наличию в нем полной ориентировочной основы, по обобщенности, обоснованности, осознанности и тому подобное [50].

§5. Методы контроля

Методы контроля -- это способы, с помощью которых определяется результативность учебно-познавательной и других видов деятельности учащихся и педагогической работы учителя. В учебном процессе в различных сочетаниях используются методы устного, письменного, практического (лабораторного), машинного контроля и другие.

Устный опрос осуществляется в индивидуальной и фронтальной формах.

Цель устного индивидуального контроля -- выявление учителем знаний, умений и навыков отдельных учащихся. Ученику предлагается ответить на общий вопрос, который в последующем разбивается на ряд более конкретных, уточняющих. Обычно для ответа учащиеся вызываются к доске. Дополнительные вопросы при индивидуальном контроле задаются при неполном ответе, если необходимо уточнить детали, проверить глубину знаний или же если у учителя возникают колебания при выставлении отметки.

Устный фронтальный контроль (опрос) требует серии логически связанных между собой вопросов по небольшому объему материала. При фронтальном опросе от учащихся учитель ждет кратких, лаконичных ответов с места. Обычно он применяется с целью повторения и закрепления учебного материала за короткий промежуток времени. По отношению к индивидуальному опросу фронтальный имеет свои преимущества и недостатки. Преимущества в том, что он активизирует работу всего класса, позволяет спросить многих учащихся, экономит время. При фронтальном опросе всем учащимся предоставляется возможность участвовать в дополнении, уточнении, подтверждении, исправлении, но после состоявшегося ответа их товарища. Недостатки же фронтального опроса очевидны: не проверяет глубину знаний; возможны случайные удачные ответы учащихся.

Письменный контроль редко бывает индивидуальным, когда отдельным учащимся предлагаются контрольные задания по карточкам. Обычно это фронтальные контрольные работы.

Фронтальные и индивидуальные работы могут быть рассчитаны на весь урок или его часть. Во втором случае проверка осуществляется, как правило, после выполнения задания. Письменные работы могут предлагаться также в форме отчетов, графических построений, карточек и тому подобное.

Для контрольных мероприятий письменного характера имеется широкий арсенал дидактических сборников задач и упражнений. Они используются и для индивидуальной проверки знаний, умений и навыков учащихся в случаях, если ученик пропустил какую-то тему, чтобы не отрывать весь класс от работы; если у ученика речевые дефекты (плохо говорит) или стесняется отвечать публично.

Проверка письменно-графических работ имеет свои качественные особенности: большая объективность по сравнению с устной проверкой, охват нужного числа проверяемых, экономия времени. Применение письменных работ используется для:

1) проверки знания теоретического материала;

2) умения применять его к решению задач;

3) контроля сформированных навыков.

В методике письменно-графических работ выделяют четыре основных этапа, которым надо уделять внимание, это подготовка, организация, проведение, анализ результатов.

Практический контроль применяется на уроках математики, а также физики и химии. В старших классах с этой целью проводятся лабораторные работы. На уроках математики проводят измерительные работы, на других уроках проверяют умения пользоваться приборами типа амперметр, вольтметр, микрометр и прочее. Другими словами, этот метод контроля необходим, а, следовательно, и применяется, когда надо выявить сформированность тех или иных умений и навыков практической работы.

С помощью проверки практических работ получают данные об умении учащихся применять полученные знания при решении практических задач, пользоваться различными таблицами, формулами, чертежными и измерительными инструментами, приборами.

Учитель получает отчет ученика, в котором приводится только результат или схематически описаны план практической работы и ее результаты. Это несколько затрудняет проверку и оценку каждого действия ученика, поэтому на практике в проверочном задании приводится алгоритм его выполнения, что позволяет осуществить такую проверку правильности действий ученика. Все работы проверяются, но оцениваются по-разному: по результатам обзорных работ оценки выставляются в журнал, по результатам тренировочных работ можно выставлять лишь положительные оценки.

С развитием информационных технологий обучения все шире используется машинный контроль. Наибольшее распространение получили различные виды программированного контроля, когда учащимся предлагается из нескольких вариантов возможных ответов выбрать правильный. Преимущества машинного контроля в том, что машина беспристрастна. Вместе с тем этот метод не выявляет способа получения результата, затруднений, типичных ошибок и других нюансов, которые не проходят мимо внимания педагога при устном и письменном контроле.

Для контроля знаний учащихся используют персональный компьютер. Для контроля знаний учащихся удобно применять типовые расчеты, которые включают наиболее характерные задания базового курса математики.

Перечислим некоторые преимущества использования ЭВМ для создания типовых расчетов:

1.Однотипные задания печатаются в любом количестве неповторяющихся вариантов.

2.Варианты, созданные с помощью компьютерных программ, проверяются значительно быстрее, так как ЭВМ может предоставить ответы к каждому заданию.

3.Компьютерные типовые задания удобны для отработки необходимых навыков с отстающими учащимися (учитель не тратит время на подбор однотипных заданий для отработки определенных навыков).

4.Учащиеся с огромным интересом работают с такими заданиями, особенно, если карточка с заданием индивидуальна и ученик может работать в ней.

Сочетание различных методов контроля получило название комбинированного или уплотненного контроля. Обычно это сочетание устного и письменного опроса. Его сущность заключается в том, что к доске для ответа вызываются сразу несколько учеников, из которых один отвечает устно, двое или более готовятся к ответу у классной доски, часть учеников выполняют письменные задания по карточкам, а остальные участвуют в опросе. Достоинства этого метода в том, что он дает возможность основательной проверки нескольких учащихся за небольшой промежуток времени; применяется, когда весь материал усвоен и есть необходимость проверить знания сразу у нескольких учащихся ([45], [40]).

Общее назначение всех этих методов заключается в том, чтобы наилучшим образом провести контроль, вместе с тем каждый метод контроля имеет свои дидактические возможности для выявления тех или иных показателей усвоения учебного материала. Поэтому, контролируя результаты учебного процесса, необходимо учитывать и преимущества, и ограниченность применения этих методов [47].

§6. Формы контроля

Процесс контроля знаний учащихся должен быть не только эффективным, но и интересным для самого ученика. Существует большое разнообразие форм контроля знаний. Ранее были выделены предварительный, текущий, тематический и итоговый контроль.

К предварительному контролю относят такие формы контроля как самостоятельная работа, математический диктант и тестирование. Через систему самостоятельных работ, домашних работ, а также через проведение контрольных работ осуществляется текущий контроль знаний. К тематическому контролю можно отнести тестирование, контрольные работы, зачеты и домашние контрольные работы. Итоговый контроль можно организовать с помощью контрольных работ, зачетов и экзаменов [22].

Рассмотрим подробнее некоторые формы контроля знаний.

Самостоятельные работы

При изучении математики важно, чтобы учащиеся не только знали теоретический материал, но и умели применять его к решению задач и упражнений, обладали бы рядом навыков (вычислительными навыками, умениями преобразовывать выражения и так далее). Эти умения и навыки могут быть по настоящему проверены только в письменной работе. Обычно самостоятельные работы проводятся после коллективного решения задач новой темы и предшествуют контрольной работе по этой теме [25].

Самостоятельную деятельность учащихся можно и нужно организовывать на различных уровнях: от воспроизведения действий по образцу и узнавания объектов путем их сравнения с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях.

Учителю необходимо учитывать, что при составлении заданий самостоятельной работы степень сложности должна отвечать учебным возможностям детей.

Переход с одного уровня на другой должен осуществляться постепенно, только когда учитель будет убежден, что учащийся справится со следующим уровнем самостоятельности. Иначе в атмосфере спешки и нервозности у ученика возникают пробелы в знаниях.

Очень важно, чтобы содержание самостоятельной работы, форма и время ее выполнения отвечали основным целям обучения данной теме на данном этапе.

В зависимости от целей, которые ставятся перед самостоятельными работами, они могут быть: обучающими, тренировочными, закрепляющими, повторительными, развивающими, творческими, контрольными.

Смысл обучающих самостоятельных работ заключается в самостоятельном выполнении школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ -- развитие интереса к изучаемому материалу, привлечение внимания каждого ученика к тому, что объясняет учитель. В ходе выясняется непонятное, выявляются сложные моменты, дают себя знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал.

К обучающим самостоятельным работам можно отнести составление примеров на изучаемые правила, свойства, самостоятельное составление алгоритмов, решение задач по алгоритму. К тренировочным относятся задания на распознавание различных объектов и их свойств. Например: какие из данных графиков являются графиком степенной функции? Тренировочные самостоятельные работы состоят из однотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения, правила. Такая работа мало способствует умственному развитию детей, но она необходима, так как позволяет выработать основные умения и навыки и тем самым создать базу для дальнейшего изучения математики.

К таким работам можно отнести выполнение заданий по разноуровневым карточкам. Сейчас такие дидактические материалы выпущены и по алгебре, и по геометрии для всех классов.

К закрепляющим можно отнести самостоятельные работы, которые способствуют развитию логического мышления и требуют комбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают насколько прочно, осмысленно усвоен учебный материал. По результатам проверки заданий данного вида учитель определяет нужно ли еще заниматься данной темой. Примеры таких работ в изобилии встречаются в различных дидактических материалах.

Очень важны так называемые повторительные (обзорные или тематические) работы. Перед изучением новой темы учитель должен знать, подготовлены ли школьники, есть ли у них необходимые знания, какие пробелы смогут затруднить изучение нового материала.

Самостоятельными работами развивающего характера могут быть домашние задания по составлению докладов на определенные темы, подготовка к олимпиадам, научно-творческим конференциям, проведение в школе «дней математики», сочинение математических игр, сказок, спектаклей и др. На уроках -- это самостоятельные работы, требующие умения решать исследовательские задачи.

Большой интерес вызывают у учащихся творческие самостоятельные работы, которые предполагают высокий уровень самостоятельности. Здесь учащиеся открывают для себя новые стороны уже имеющихся у них знаний, учатся применять эти знания в новых неожиданных ситуациях.

Самостоятельные работы контрольного характера являются необходимым условием достижения планируемых результатов обучения.

Во-первых, контрольные задания должны быть равноценными по содержанию и объему работы; во-вторых, они должны быть направлены на отработку основных навыков; в-третьих, обеспечивать достоверную проверку уровня обучения; в-четвертых, они должны стимулировать учащихся, позволять им продемонстрировать прогресс в своей общей подготовке [25].

Контрольные работы

Контрольная работа является одной из основных наиболее применяемых форм тематического контроля знаний учащихся.

Для того чтобы контрольная работа, как форма тематического контроля, была наиболее эффективной, должны выполняться следующие требования:

1. Перед проведением контрольной работы необходимо определить объект контроля, цель предстоящей работы и средства контроля. Они должны быть сообщены учащимся.

2. В зависимости от вида заданий нужно продумать, каким образом ученик должен их оформить.

3. Учитель должен продумать, что он отнесет к недочетам, а что к ошибкам. Из этого будет складываться оценка. Критерии оценки хотя бы в общих чертах должны быть известны учащимся.

4. Контрольная работа должна быть посильной для всех учащихся без исключения. Сильным ученикам необходимо предложить дополнительные задания более трудного характера.

5. Каждой контрольной работе должна предшествовать самостоятельная работа с аналогичными упражнениями.

6. Анализ контрольной работы необходимо проводить сразу, для этого необходимо завершать работу за несколько минут до звонка. Желательно фрагменты решения разобрать сразу после написания работы, потому что на следующий день или позже учащиеся уже теряют интерес к содержанию работы и многие интересуются только оценкой.

7. Обязательно нужно проводить количественный и качественный анализ контрольной работы.

Данные количественного анализа удобно представлять в виде таблицы (таблица 1)

Таблица 1

1	2	3	4	5
Класс	Кол-во уч-ся в классе	Кол-во уч-ся, выполнивших работу	Оценка	Выполненные задания
			5	4	3	2	1	1	2	3	4	5

Но данные количественного анализа не позволяют установить уровень владения материалом конкретного ученика.

Такую возможность представляет качественный анализ. Информация, которая подвергается качественному анализу, должна включать данные о выполнении каждого задания предложенной контрольной работы каждым учеником класса.

Такие данные можно фиксировать в таблице (таблица 2)

Таблица 2

Фамилия учащегося	1 задание
	Виды ошибок

Иванов А.	+	-	+	-
Петров М.	-	+	-	+

Содержание основной части таблицы свидетельствует об основных ошибках учащихся, допущенных при выполнении отдельных заданий (- означает, что в задании нет ошибок, а + означает, что в задании допущена ошибка).

Анализ результатов контрольной работы может способствовать получению выводов об особенностях своей деятельности по организации усвоения школьниками учебного материала.

В текущие письменные контрольные работы наряду с вопросами рассматриваемой темы должны включаться и задания по ранее изученным разделам программы. Такие работы могут быть построены на однородном материале, но могут быть и комбинированными, включающими как арифметические, так и алгебраические задания.

Организация тематического контроля в форме контрольных работ позволяет не только осуществлять контролирующую и оценивающую роль проверки знаний учащихся, но и содействует реализации программных требований к уровню знаний, умений и навыков учащихся ([27], [43]).

Домашнее задание

Контроль над усвоением изученного материала обычно начинается с проверки домашнего задания.

Основной целью проверки выполнения домашнего задания является установление осознанности учащимися содержания задания, выявление и разъяснение недочетов, обнаружившихся в знаниях.

Роль домашних заданий практически обесценивается, если не налажена их проверка. Учителя практикуют разные формы учета. Это и устный опрос у доски или с места по домашнему заданию, и короткая письменная работа, но, прежде всего, - это непосредственная проверка задания в тетрадях -фронтальная при обходе класса в начале урока и более основательная, выборочная во внеурочное время.

Рассмотрим некоторые приемы проверки домашнего задания.

Самопроверка по образцу применяется на первом уроке после объяснения нового материала. Образец решения домашней работы записан на доске заранее. Учащиеся рассматривают решение-образец и устно комментируют его, тетради у всех закрыты. Затем ребята открывают тетради и проверяют свои работы по образцу, подчеркивая ошибки. Этот способ развивает внимание и выявляет ошибки с помощью образца.

Взаимопроверка с помощью образца используется на следующем уроке. В этом случае учащиеся проверяют домашнюю работу своего соседа тоже по образцу. Как и в первом случае, окончательно тетради проверяет учитель [40] .

Математический диктант

Математический диктант может заменить опрос по теме, заданной для повторения. Его продолжительность обычно 8-10 минут. Он представляет собой систему вопросов, связанных между собой [21].

Текст диктанта может быть написан на плакате, спроецирован на доску с помощью кодоскопа или проектора, зачитан учителем.

Приведем методику проведения диктанта.

1. Учитель полностью зачитывает текст, а учащиеся слушают, не делая записей.

2. Учитель читает текст по фразам, делая паузы от одной до двух минут, чтобы дать учащимся возможность выполнить задание.

3. Когда все задания выполнены, учитель снова читает весь текст с небольшими остановками (это дает учащимся возможность что-то исправить и сделать дополнения).

Правильные ответы записываются на доске. Ученики могут проверить диктант самостоятельно у соседа по парте. В 5-7 классах все работы проверяются учителем. Этот метод проверки реже используется в старших классах.

Существует еще одна разновидность диктанта - это математический диктант с графической записью ответа.

С помощью математического диктанта можно проверить у учащихся знание формулировок, определений, свойств, теорем, формул; умения и навыки их использования. Эта форма контроля знаний и умений учащихся снимает часть нагрузки с остальных форм, может применяться в сочетании с другими формами контроля [21].

Тестирование

Среди форм тематического контроля знаний, умений и навыков тестовый контроль занимает особое место. От остальных форм тематического контроля его отличает, прежде всего, объективность результатов проверки: благодаря наличию эталона каждый проверяющий приходит к одному и тому же результату по проверяемой работе учащихся. Возможность автоматизации проверки и уменьшения времени выполнения учащимися самих операций контроля приводит к снижению времени проверки, что дает возможность увеличить частоту и регулярность контроля [19].

Тест, нацеленный на проверку усвоения конкретной темы, всегда будет более надежным, чем тест, направленный на проверку всего раздела, охватывающий значительное количество материала -- закономерностей, фактов.

Преимущество такого тематического контроля в том, что одновременно заняты все учащиеся и продуктивно работает весь класс, быстро можно проверить выполненные работы, оценить можно сразу весь класс, проверяется теоретический материал, проверяется большой объем материала малыми порциями, выставляется объективная оценка результатов выполненной работы. Это вынуждает учащихся готовиться к каждому уроку, работать систематически, чем и решается проблема эффективности и необходимой прочности знаний.

При составлении тестовых заданий рекомендуется учитывать требования, предъявляемые АСТ (автоматизированной системой тестирования). Кроме того, при формировании тестового фонда необходимо соблюдать следующие правила:

· нельзя включать ответы, неправильность которых на момент тестирования не может быть обоснована учащимися;

· неправильные ответы должны конструироваться на основе типичных ошибок и должны быть правдоподобными;

· правильные ответы среди всех предполагаемых ответов должны размещаться в случайном порядке;

· вопросы (по возможности) не должны повторять формулировок учебных заданий, приведенных на классных занятиях;

· ответы на одни вопросы не должны быть подсказками для ответов на другие;

· вопросы не должны содержать «ловушек».

Наиболее распространен в практике тестирования тест с выбором ответа. Постепенно учащиеся привыкают к тому, что нужно при выполнении задания проверить себя, сравнив полученный ответ с предложенными для выбора. Затем конструкция заданий приобретает привычный для теста вид, и учащиеся без напоминания контролируют свое решение, то есть тесты выполняют важную функцию, приучая учащихся к самоконтролю.

Следующий вид тестов -- тест на установление истинности (ложности) утверждения. В нем предлагается лишь два ответа для выбора «да», «нет». Этот вид тестов содержит большую вероятность случайного выбора ответа. Во избежание указанного недостатка вопросы теста рекомендуется дублировать по содержанию, меняя лишь их конструкцию. Такие тесты проверяют умение учащихся рассуждать, делать выводы, отличать верное рассуждение от неверного. Перед работой с ними учащихся следует подготовить.

Еще один вид тестов - тест на заполнение пропусков в истинном утверждении. Такого вида тесты помогают учителю получить информацию о качестве формирования речевой математической культуры учащихся и уровне овладения математическим аппаратом, то есть цели проверки могут быть и комплексные.

Если тестирование осуществляется в письменном виде, то лист с тестовыми заданиями дается каждому ученику. Тест по одной и той же теме полезно делать в двух-четырех вариантах. Для простоты обработки задания, расположенные под одним номером, идентичны по содержанию.

Критерии оценок могут быть различны, в зависимости от теста и количества вопросов ([19], [29], [30]).

Наряду с тестовой формой контроля, на уроках математики могут применяться разного рода игры, в частности, чайнворды, кроссворды, криптограммы. Они вошли в практику обучения сравнительно недавно, опыт их применения основательно не изучен и не обобщен, но польза, приносимая ими, их влияние на усвоение учебного материала совершенно очевидны и реально ощутимы. Содержание, вкладываемое в игры, может быть различным. В основном это математическая терминология, не исключены и отдельные цифровые данные.

Урок - зачет

Одной из форм организации контроля знаний, умений и навыков учащихся является урок-зачет. Основная цель его состоит в диагностике уровня усвоения знаний и умений каждым учащимся на определенном этапе обучения. Положительная отметка за зачет выставляется в случае, если ученик справился со всеми заданиями, соответствующими уровню обязательной подготовки по изученному предмету. Если хотя бы одно из таких заданий осталось невыполненным, то, как правило, положительная оценка не выставляется. В этом случае зачет подлежит пересдаче, причем ученик может пересдать не весь зачет целиком, а только те виды заданий, с которыми он не справился [32].

Практикуются различные виды зачетов: текущий и тематический, зачет-практикум, дифференцированный зачет, зачет-экстерн и т. д. При их проведении используются различные формы организации деятельности учителя и учащихся: зачет в форме экзамена, ринга, конвейера, общественного смотра знаний, аукциона и тому подобное. Если учащимся предварительно сообщают примерный перечень заданий, выносимых на зачет, то его принято называть открытым, в противном случае - закрытым. Чаще же предпочтение отдается открытым зачетам с целью определения результатов изучения наиболее важных тем учебного предмета.

В качестве примера рассмотрим возможные основные этапы подготовки и проведения открытого тематического зачета.

Такой зачет проводится как завершающая проверка в конце изучаемой темы. Приступая к ее изложению, учитель сообщает о предстоящем зачете, его содержании, особенностях организации и сроках сдачи. Для проведения зачета из числа наиболее подготовленных учащихся отбираются консультанты. Они помогают распределить учащихся по группам в 3-5 человек, готовят учетные карточки для своих групп, в которых будут фиксироваться отметки за выполнение учениками каждого задания и итоговые отметки за зачет. Задания готовятся двух видов: 1) основные, соответствующие обязательному уровню подготовки учащихся; 2)дополнительные, выполнение которых вместе с основными необходимо для получения хорошей или отличной отметки.

Каждому ученику, кроме консультантов, готовятся индивидуальные задания, включающие основные и дополнительные вопросы и упражнения. В начале зачета, как правило, на спаренном уроке, ученики получают свои задания и приступают к их выполнению. В это время учитель проводит собеседование с консультантами. Он проверяет и оценивает их знания, а затем еще раз объясняет методику проверки заданий, в особенности основных.

На следующем этапе урока консультанты приступают к проверке выполнения заданий в своих группах, а учитель выборочно из разных групп проверяет в первую очередь работы учащихся, справившихся с основными заданиями и приступивших к выполнению дополнительных заданий.

В заключительной части урока завершается оценка выполнения каждого задания выставлением отметок в учетные карточки. Собрав учетные карточки групп, учитель на основе выставленных отметок выводит итоговую отметку каждому ученику и подводит общие итоги зачета [32].

Экзамены

Экзамены делятся на два вида: устные (по выбору) и письменные (обязательные). Форма проведения экзамена по выбору может быть различной: по билетам, собеседование, защита реферата, тестирование.

Обязательный экзамен по математике за курс средней школы в форме ЕГЭ подразумевает решение двух главных задач. С одной стороны, проверку обязательного уровня усвоения выпускником полной средней школы курса алгебры и начал анализа и, с другой стороны, - отбор наиболее подготовленной части учащихся для последующего обучения в высших учебных заведениях [24].

Учебные портфолио

Под учебным портфолио понимается форма и процесс организации образцов и продуктов учебно-познавательной деятельности обучаемого, а также соответствующих информационных материалов из внешних источников (от одноклассников, учителей, родителей и других), предназначенных для последующего их анализа, всесторонней количественной и качественной оценки уровня учащегося и дальнейшей коррекции процесса обучения. Состав учебного портфолио напрямую зависит от конкретных целей обучения данному предмету [46].

Отдельные авторы характеризуют учебные портфолио как

· коллекцию работ учащегося, всесторонне демонстрирующую приложенные усилия, а также очевидный прогресс в знаниях и умениях учащегося по сравнению с его предыдущими результатами;

· выставку достижений учащегося по данному предмету (или нескольким предметам) за данный период обучения;

· форму целенаправленной, систематической и непрерывной оценки и самооценки учебных результатов учащегося;

· антологию работ учащегося, предполагающую его непосредственное участие в выборе работ, представляемых на оценку, а также их самоанализ и самооценку.

Очевидно, что приведенные выше пункты далеко не исчерпывают состав возможного учебного портфолио, но они дают более или менее представление о том, что может быть включено в него.

Основной смысл учебного портфолио - показать, продемонстрировать все, на что ты способен. Основная задача - проследить динамику учебного прогресса.

Преимущества учебного портфолио в следующем:

· в отличие от традиционного подхода, который разделяет преподавание, учение и оценивание, учебное портфолио органически интегрирует эти три составляющие процесса обучения;

· позволяет объединить количественную и качественную оценку способностей учащегося посредством анализа разнообразных продуктов учебно-познавательной деятельности;

· поощряется не только оценка, но и самооценка и взаимооценка обучаемых;

· учебное портфолио направлено на сотрудничество учителя и учащегося с целью оценки достижений, приложенных усилий и прогресса в обучении.

В учебное портфолио могут быть включены следующие категории и наименования продуктов учебно-познавательной деятельности: работы самого учащегося - как классные самостоятельные, так и домашние; прикладные математические проекты (как индивидуальные, так и групповые); решения сложных занимательных задач по данной теме (на выбор учащегося); решения задач и упражнений из учебника, выполненных самостоятельно сверх учебной программы; задачи, составленные самим учащимся по данной теме; графические работы, выполненные по данной теме; описания экспериментов и лабораторных работ, выполненных учащимся (как индивидуально, так и в малой группе); варианты работ, выполненные учащимся в парах или в процессе взаимообучения.

К недостаткам учебного портфолио относят ослабление ее валидности и надежности, размытость критериев оценки элементов состава портфолио и трудоемкость процесса их проверки и оценки, высокий уровень субъективности оценки. Именно поэтому такая форма контроля знаний, умений и навыков по математике используется пока крайне редко [46].

Рейтинговая система контроля

Проблема объективности оценивания качества знаний учащихся разрешима, возможно применение рейтинговой системы контроля знаний учащихся. Использование такой системы ставит перед учителем задачу более тщательно отбирать и оценивать задания, составляющие основу текстов контрольных и самостоятельных работ. При этом к текстам заданий предъявляется ряд требований. Они должны быть понятны, недвусмысленны, не абстрактны, «новые» (то есть ранее не рассмотренные на практических занятиях), не слишком простые и сложные. Общее число заданий определяется из расчета времени, отводимого на самостоятельную работу учащихся, для каждого задания определяется свой «вес». Возможны следующие методы определения «веса»:

· оценивается смысловая значимость задания учебного материала, то есть наибольший рейтинг присваивается заданиям, проверяющим наличие обязательного уровня знаний;

· учитывается процент учащихся (одного класса), правильно выполнивших задание, по формуле p=k/n (k - число учащихся, правильно выполнивших задание; n - общее число испытуемых);

· учитывается число и значимость операций задания;

· оцениваются экспертные расчеты. Экспертам (учителям) предлагается анкета с заданиями, которые им необходимо проранжировать. После обработки результатов предлагается вторая анкета, в которой задания расположены по степени их значимости, определенной экспертами. Задания оцениваются по количеству очков, затем рассчитывается «вес» i-го задания по формуле: , где Bij - «вес», определенный j-м экспертом i-му заданию, n - число экспертов.

Рассмотренные методы определения «веса» применимы к любому заданию, удовлетворяющему вышеперечисленным требованиям.

Таким образом, рассмотрев теоретический материал по проблеме контроля, можно сделать вывод, что существует большое разнообразие различных видов, форм и методов проверки знаний учащихся, которые учитель может применять на уроках математики. Если учитель владеет этим материалом, то контроль будет эффективным.

В практической деятельности учитель выбирая методы, формы и виды контроля учебной деятельности учащихся, обычно руководствуется целями обучения и его содержанием. Таким образом, выбор методов педагогической деятельности не произвольный акт. Он подчиняется ряду закономерностей, среди которых первостепенное значение имеют цели и конкретные образовательно-воспитательные задачи, содержание и принципы, уровень подготовленности класса и его развитие как коллектива, особенности личности самого педагога.

Во второй главе данной работы проведем анализ содержания программы по математике, учебников по алгебре 5-9 классов по теме «Уравнения». А на основании теоретического материала первой главы и проведенного анализа дадим методические особенности контроля знаний, умений и навыков учащихся при изучении линии уравнений в основной школе [26].

Глава II. Методические особенности контроля знаний, умений и навыков учащихся при изучении линии уравнений в основной школе

§1. Анализ содержания программы по математике

Материал, изучаемый в курсе алгебры 7-9 класса по теме уравнения, достаточно объемен и в обязательном порядке входит в экзамен. Поэтому от того, как был проведен контроль знаний, умений и навыков учащихся и как усвоен материал, зависит успешность сдачи экзамена. Чтобы учителю определиться с выбором форм проверки, сначала необходимо выделить содержание контроля. Отправной точкой учительской работы является анализ программы, затем анализ содержания темы в учебниках и только потом, в соответствии с ними, выбор форм и методов контроля. Об этом и пойдет речь во второй главе.

Курс алгебры в 7-9 классах характеризуется повышением теоретического уровня обучения, постепенным усилением роли теоретических обобщений и дедуктивных заключений. Прикладная направленность курса обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению практических задач [48].

Целью изучения этого курса является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники и другие), усвоение аппарата функций как основного средства математического моделирования, решение прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников.

В связи с этим программа курса математики предполагает следующее содержание по изучению уравнений в основной школе.

Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений.

Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение нелинейных систем. Графическая интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными. Решение текстовых задач методом составления уравнений.

Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства с одной переменной.

В соответствии с программой выделяются следующие требования к математической подготовке учащихся:

– понимать, что уравнения - это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;

– правильно употреблять термины «уравнение», «неравенство», «система», «корень уравнения», «решение системы», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение, неравенство, систему»;

– решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений с двумя переменными (линейные и системы, в которых одно уравнение второй степени);

– решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, неравенства второй степени;

– решать текстовые задачи с помощью составления уравнений.

При организации учебного процесса учителю следует строить свою работу, опираясь на раздел программы «Тематическое планирование учебного материала», в котором приводится конкретное планирование, ориентированное на действующие в настоящее время учебники математики.

Итак, анализ программы позволяет сориентироваться в основных требованиях, предъявляемых к изучению линии уравнений в основной школе. Следующим этапом, позволяющим продумать эффективный систематический контроль, является анализ содержания тем, связанных с изучением уравнений, в школьных учебниках по алгебре для основной школы.

§2. Анализ изложения тем, связанных с изучением уравнений, в школьных учебниках по алгебре

В учебниках, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2007/2008 учебный год, существуют разные подходы к изучению уравнений. Для сравнения рассмотрим следующие учебники.

1. [1], [2], [3].

2. [33], [34].

3. [35], [36], [37], [38].

4. [4], [5], [6].

5. [13], [14], [15].

6. [9], [10], [39].

В таблице 3 (Приложение 1) представлен сравнительный анализ содержания и последовательности изучения темы «Уравнения» по данным учебникам. Из данной таблицы видно, что содержание данной темы изложено по-разному. Отличие наблюдается и в порядке следования тем, и по месту в учебном процессе, и по объёмам изложенного материала, его сложности и значимости, и по системе задач.

Анализ учебников для классов общеобразовательных учреждений

Отметим, что в учебниках [1], [2], [3] тема «Уравнения» следует за темой «Алгебраические выражения» и изучается в начале учебного года. Понятие уравнения вводится в 7-м классе через сюжетную задачу, как равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Далее дано определение корня уравнения, как значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство, и на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие решить уравнение (найти все его корни или установить, что их нет), на интуитивном уровне вводится понятие линейного уравнения, так как оно не получает явного определения, а заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами.

Далее, в теме «Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным», вводятся свойства уравнений (о переносе членов уравнения и умножении их на одно и то же, неравное нулю число), и тем самым учащимся обосновывается известный из курса математики V-VI классов способ решения уравнений, много времени уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения.

Для закрепления данной темы приводятся задачи:

1) на оперирование основными понятиями;

2) на овладение алгоритмом решения уравнений данного класса;

3) на применение уравнений к решению текстовых задач.

Более глубоко данная тема изложена в учебнике [2]. Система упражнений включает не только задания на отработку типовых умений, но и задачи повышенной трудности (задачи на доказательство, на составление программ для вычисления значения выражения, системы уравнений с двумя неизвестными, где одно из уравнений третьей степени, текстовые задачи на движение, задача Маклорена). В данном курсе изучаются квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения, уравнения вида , где >, приведённые квадратные уравнения, формулы для нахождения корней данных уравнений, теорема Виета и обратная теорема. Это единственный учебник, в котором подробно изучена тема «Комплексные числа» и их связь с уравнениями - «Квадратное уравнение с комплексными неизвестными».

В учебнике [3] есть несколько упражнений на решение иррациональных уравнений. Для решения таких уравнений используется метод возведения в квадрат и координатный метод. В главе «Элементы тригонометрии» приведены упражнения на решение тригонометрических уравнений.

Заметим, что в упражнения для повторения включен отдельный пункт, в который входят упражнения на решение различных видов уравнений и их систем, задачи на составление уравнений. Примечательно то, что более трудные задачи по теме «Уравнения» нашли свое отражение в разделе «Задачи для внеклассной работы».

В учебниках [33], [34] понятие уравнения, в отличие от учебников [1], [2], [3], вводится уже в 5-м классе в главе «Натуральные числа», хотя и также через сюжетную задачу. Определение уравнения, его корня и решения аналогично определению, данному в учебнике [1]. Однако нахождение неизвестного базируется не на основе использования основных свойств, а с помощью правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя, с использованием переместительного, сочетательного и распределительного законов. В 5-м классе учащиеся приобретают навыки решения уравнений в основном при решении текстовых задач (непосредственно само решение задач, составление задач по уравнению, определение значения выражения), таким образом, учащиеся еще и логически мыслят, рассуждают, анализируют.

Учебник [34], по сути, является продолжением учебника [33], так как с темой уравнения учащиеся соприкасаются только при непосредственном решении самих уравнений и текстовых задач. Единственное отличие заключается в следующем: учащиеся при решении уравнений используют операцию раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, базирующуюся на законах, известных из курса 5-ого класса. И только по окончании курса 6-ого класса на основании уже изученного ранее вводятся два свойства решения уравнений, которые в учебниках [1], [2], [3] имеют место в 7-м классе.

В учебниках [35], [36], [37], [38] понятие уравнения вводится впервые в 6-м классе также через сюжетную задачу. Правила решений аналогичны правилам, данным в учебниках [33], [34]. Однако заметим, что определение понятия решить уравнение и определение понятия корень не даны, как, впрочем, не сказано о том, сколько вообще корней может иметь уравнение. Данные понятия вводятся лишь в учебнике [36].

Дальнейшее изучение темы «Уравнения» продолжается в курсе алгебры 7-ого класса. Примечательно, что также как и в учебниках [33], [34], учащиеся приобретают навыки решения уравнений в основном при составлении и решении текстовых задач. Однако стоит отметить то, что материал по данной теме не является цикличным - весь необходимый материал изучается отдельными блоками, а блоки структурированы по сложности (от простых уравнений к более сложным).

Система задач в учебниках [35], [36], [37], [38] значительно шире, помимо задач на оперирование основными понятиями и задач на овладение алгоритмом решения уравнений при решении текстовых задач (причем не только алгебраическим методом, но и арифметическим), она включает еще и упражнения в чтении и записи алгебраических упражнений, упражнения на истолкование алгебраических выражений для разных условий задачи, упражнения на составление алгебраических выражений и задач по готовым выражениям, кроме того, присутствуют задания тестового характера. Задания повышенной трудности вынесены в пункты под названием «Для тех, кому интересно». Способы решения уравнений аналогичны способам, данным в учебниках других авторов.

Примечательно то, что при решении уравнений учащиеся могут пользоваться не только основными свойствами, но и методами, которые используются в учебниках [11], [12].

В 8-м классе учащиеся решают квадратные уравнения (в том числе неполные и приведенные уравнения), пользуясь приемом выделения квадрата двучлена, методом замены переменной, методом разложения на множители, теоремой Виета. Система задач по теме «Квадратные уравнения» включает разнообразные задачи: задачи на оперирование основными понятиями, задачи на составление уравнений, задачи на заполнение пропусков в уравнении и другие.

Примечательно, что в учебнике [37] находит отражение формула нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (1) и формула нахождения корней приведенного квадратного уравнения (2):

(1)

(2)

Далее учащиеся закрепляют навыки решения уравнений при решении различных систем уравнений и задач.

В курсе 9-ого класса учащиеся решают уравнения с модулем, целые, рациональные, иррациональные, дробные уравнения, уравнения с параметром, задачи на составление уравнений, системы уравнений с двумя переменными. Отметим, что в учебнике [38] для нахождения корня уравнения используется графическое исследование уравнений.

Таким образом, в учебном пособии [38] охвачен более широкий класс уравнений, чем в учебниках других авторов, а в главу «Повторение» включены все виды уравнений, изученных ранее, а также системы уравнений второй степени.

В учебниках [4], [5], [6] перед введением уравнений с одной переменной изучаются сначала выражения и их преобразования. Понятие уравнения с одной переменной вводится через сюжетную задачу в 7-м классе. Далее дано определение корня уравнения: «Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство» [[4], 23с.]; на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие «решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет» [[4], 24с.] и равносильные уравнения. Далее рассматриваются линейные уравнения с одной переменной.

Отметим, что система задач включает однотипные упражнения на решение уравнений, почти все они обязательного уровня. Однако, пункт «Дополнительные упражнения» содержит разнообразные задачи повышенного уровня, а, в общем, весь курс алгебры 7-ого класса пронизан уравнениями различной степени сложности.

Отметим также, что в учебнике [4] курс алгебры 7-ого класса начинается и заканчивается темой уравнения. В конце учебного года в главе «Системы линейных уравнений» вводится определение линейного уравнения с двумя переменными и его решения. Система задач в данной главе включает упражнения различной степени сложности на решение уравнений и их систем различными способами.

В пункт «Задачи повышенной трудности» включены параметрические уравнения, уравнения с модулем, целочисленные уравнения, а также задачи на составление систем уравнений и их решение.

В учебнике [5] в главе «Квадратные корни» изучаются уравнения вида , позднее вводится определение квадратного уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета. Система задач включает упражнения на решение квадратных, рациональных, дробно-рациональных и других видов уравнений различными методами, а также упражнения на решение задач с помощью системы уравнений. Отметим, что в учебнике [5] имеется глава «Дополнительные упражнения», в которую включен очень широкий класс задач различной степени сложности на решение уравнений.

В учебнике [6] уравнения изучаются в отдельной главе, в которую включены целые уравнения, биквадратные, иррациональные уравнения, системы уравнений с двумя переменными и системы уравнений второй степени, а также задачи на составление систем уравнений. Система задач, также как и в учебнике [5], включает упражнения различной степени сложности, в том числе, и задачи повышенной трудности.

В учебниках [13], [14], [15] заложено проблемное изложение материала, развивающее обучение и диалектический подход к введению математических понятий.

Понятие уравнение рассматривается в 7-м классе в качестве математической модели. Само решение уравнений, то есть нахождение корней, происходит посредствам применения формул сокращенного умножения, способа группировки, разложения на множители и прочее.

В учебнике [13] рассматривается линейное уравнение, причем, кроме определения понятия уравнения с одной переменной (аналогично определению, данному в учебниках [1], [2]), вводится определение понятия уравнения с двумя переменными и его решения, а также теорема о графике линейного уравнения. Итогом изучения уравнений в 7-м классе является рассмотрение темы «Графическое решение уравнений» и темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

В учебнике [14] задачи на данную тему становятся сложнее: это решение рациональных и иррациональных уравнений, квадратных (полных, неполных, приведенных, неприведенных) и биквадратных уравнений, уравнений с параметрами и прочие, хотя методы решения уравнений аналогичны методам, данным в учебниках [36], [37], [38].

Отметим также, что данные, которые нужно запомнить, например, алгоритмы решения конкретного класса уравнений, выделены курсивом.

Система задач включает в себя разнообразные задачи - от примитивных задач до заданий повышенной трудности. Такое разнообразие заданий обеспечило наличие задачника к данному учебнику.

В курсе 9-ого класса учащиеся знакомятся с понятием рационального уравнения с двумя переменными и понятием решения такого уравнения, получают представление о равносильных преобразованиях. Исходя из этого, система задач содержит различные виды упражнений на решение рациональных уравнений с двумя неизвестными и их систем, а также упражнения на применение данных уравнений при решении текстовых задач.

Заметим, что в конце курса 9-ого класса учащиеся также решают простейшие тригонометрические уравнения.

В учебниках [9], [10], [39] определение понятия уравнения вводится на интуитивном уровне (через пример) в 6-м классе в главе рациональные числа. Определение понятия корня и решения уравнения аналогично определениям, данным другими авторами. Далее приведена примитивная система задач, где в основном присутствуют упражнения на решение по образцу и упражнения на составление уравнений при решении текстовых задач.

Далее, в учебнике [10] также на интуитивном уровне вводится определение понятия уравнения первой степени с одним неизвестным. Заметим, что в определении понятия решить уравнение не оговаривается тот факт, что корней может и не быть. Определение понятия линейного уравнения следующее: «Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно х или числа». Кроме того, автор выделяет еще одно свойство, необходимое при решении уравнений, - приведение подобных членов, которое в учебниках других авторов является методом решения линейных уравнений. Далее учащиеся решают простейшие линейные уравнения с одним неизвестным, текстовые задачи на составление уравнений, системы линейных уравнений с двумя неизвестными и задачи на составление данных систем. Заметим, что автор включает в систему задач по теме «Уравнения» однородные диофантовы уравнения и предлагает более простой способ решения систем уравнений - метод Гаусса.

В 8-м классе учащиеся приобретают навыки решения квадратных (неполных, общего вида, приведенных) и рациональных уравнений (биквадратных; «распадающихся»; уравнения, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая - нуль) и применяют полученные знания при решении задач. Помимо данных уравнений изучают комплексные уравнения, уравнения прямой и окружности. В конце курса 8-ого класса учащиеся решают системы рациональных уравнений первой и второй степени, причем, с тремя неизвестными, а также решают задачи, составляя системы уравнений. Отметим, что в качестве способа решения систем уравнений активно используется графический метод.

В курс 9-ого класса включены лишь упражнения на решение различных видов уравнений, никаких новых сведений о линии уравнений учащиеся не получают.

Таким образом, материал в учебниках [9], [10], [39] расположен так, что отдельные темы программы изучаются один раз и в полном объеме, чтобы потом к ним не возвращаться в теоретической части учебника. Дальнейшее закрепление и повторение, а иногда и развитие изученного ведется через линию упражнений. Изложение материала связное - подряд излагаются большие темы, нет мелких вопросов, нарушающих логику изложения тем. Основной методический принцип, положенный в основу изложения теоретического материала и организации системы упражнений, заключается в том, что ученик за один раз должен преодолевать не более одной трудности. Поэтому каждое новое понятие формируется, каждое новое умение отрабатывается сначала по отдельности, потом трудности совмещаются. Сложность заданий в каждом пункте нарастает линейно. Упражнения выстроены по нарастанию сложности и не перебиваются упражнениями на другие темы. Важную роль в формировании первоначальных представлений о зарождении и развитии науки играют исторические сведения, завершающие каждую главу учебника. Учебники [9], [10], [39] нацелены на повышенный уровень математической подготовки учащихся, но их можно использовать в классах с обычной программой по математике.

Анализ учебников для классов с углубленным изучением математики

Проанализируем учебники [7], [8], [16], [17], [11], [12], так как данные учебники предназначены для классов с углубленным изучением математики и в них описаны иные подходы к изучению материала и значительно расширено содержание.

В учебнике [7] содержатся 18 параграфов, охватывающих все основные темы общеобразовательного курса алгебры в 7-м классе, и ряд дополнительных вопросов. Учебник дает возможность достаточно обстоятельно рассмотреть теоретические вопросы и предложить учащимся широкий круг упражнений, различных по уровню сложности. Что касается конкретного материала по теме «Уравнения», то он достаточно объемный и содержит упражнения различной степени сложности. В данном курсе изучаются уравнение с одной переменной и его корни, равносильные уравнения, линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, уравнения с модулем и задачи на составление уравнений.

Далее, после изучения глав «Разложение многочленов на множители» и «Формулы сокращенного умножения», продолжается изучение линии уравнений (несмотря на то, что упражнения на решение уравнений различной степени сложности в этих главах также присутствуют) в главе «Системы линейных уравнений». В данной главе для решения предлагаются упражнения на решение уравнений с двумя переменными в целых числах, на решение систем уравнений различными способами (в том числе системы уравнений с тремя переменными) и задачи на составление уравнений.

В учебнике [8] в отличие от учебника [7] тема «Уравнения» изложена в отдельной главе «Квадратные уравнения», которая изучается в конце курса 8-ого класса. В данной главе также как и в учебниках для классов общеобразовательных учреждений изложен теоретический материал о квадратных уравнениях и его корнях, о решении дробно-рациональных уравнений. Однако изложение достаточно обстоятельно и представлен большой набор разнообразных по тематике и уровню сложности упражнений (например, упражнения на решение параметрических уравнений, уравнений с модулем, на применение обратной теоремы Виета, упражнения на доказательство).

Отметим, что в тему «Квадратные уравнения» дополнительно включен вопрос о выражениях, симметрических относительно корней квадратного уравнения.

Учебник [16] отличается, прежде всего, более углубленным изучением соответствующих вопросов курса (изъяты слишком простые примеры и рассуждения, добавлены более сложные и интересные примеры). Материал по теме исследования написан в русле той концепции, которая использована в учебнике [14], с соблюдением практически того же порядка следования параграфов, но с естественным расширением материала. По оглавлению сразу можно выделить дополнительный материал: алгоритм извлечения квадратного корня, уравнения высших степеней, уравнения с модулями и параметрами. Система задач, также как в учебнике [8], разнообразна по содержанию и уровню сложности.

Учебник [17] является продолжением учебника [16] и написан на базе учебника [15]. Единственное отличие заключается во включении в курс дополнительного материала по теме исследования: задачи с параметрами, специальные методы решения систем уравнений (включая системы с тремя, четырьмя переменными), однородные, иррациональные, симметрические системы, системы с модулями. Соответственно и система задач значительно шире.

В учебник [11] включены упражнения на решение дробно-рациональных и кубических уравнений, неопределенных уравнений первой степени, используется метод разложения на множители, формулы сокращенного умножения, метод выделения полного квадрата, основное свойство пропорции, наибольший общий делитель коэффициентов и так далее. Система задач включает уравнения более высокого порядка, так как учащиеся при выполнении заданий могут пользоваться теоремой о делении многочлена на многочлен с остатком, теоремой Безу о корнях многочлена, теоремой о симметрических многочленах от двух переменных. Соответственно и система задач более сложная и трудоемкая. Несмотря на то, что уравнения различной степени сложности включены в каждую тему, рассматриваемую в данном учебнике, они находят свое отражение в отдельной главе «Квадратные уравнения. Системы нелинейных уравнений». В данной главе вводится определение понятия квадратного и приведенного уравнения, корней уравнения, формула нахождения корней через дискриминант и по теореме Виета (в том числе и для многочленов высших степеней). Отметим, что система задач включает упражнения на составление уравнений по известным корням и их кратности, упражнения на решение уравнений с параметрами, упражнения на доказательство, упражнения на нахождение суммы, произведения, разности корней уравнения, не решая данное уравнение, на определение знака корней, задачи на составление уравнений.

Отметим, что в курсе алгебры 8-ого класса учащиеся учатся решать возвратные и однородные уравнения, симметрические системы уравнений и системы уравнений с параметрами и модулем. Помимо методов, известных из курса алгебры общеобразовательной школы, учащиеся при решении уравнений часто прибегают к использованию графического метода решения уравнений.

В учебнике [12] в систему задач включены иррациональные, показательные уравнения, в том числе с модулем. Достаточно много упражнений на решение уравнений включено в главу «Элементы теории множеств», но также имеется глава, в которой находит свое отражение материал по теме «Уравнения» - «Уравнения, неравенства и их системы». Заметим, что в данной главе, на функциональном уровне даны общее определение уравнения с одной переменной и его корня, определение целого рационального уравнения и методы решения таких уравнений (разложение на множители, введение новой переменной и прочие), определение дробно-рационального уравнения, определение равносильных уравнений. Также как и в курсе алгебры общеобразовательной школы вводятся следствия из уравнений.

Система задач достаточно хорошо структурирована, содержит много упражнений на решение всех изученных видов уравнений различной степени сложности.

Данная глава является итоговой при изучении уравнений в курсе алгебры, так как включает в себя все виды уравнений, изученных не только в курсе 9-ого класса, но и уравнения, рассматриваемые ранее.

Таким образом, анализ программы и школьных учебников позволяет выделить 3 основных блока учебного материала по теме «Уравнения» - теоретический, практический и прикладной. Теоретический блок включает в себя: определение уравнения, корень уравнения, решение уравнения и системы и прочее. Практический блок состоит из умения решать линейные, квадратные, рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений различными методами. Прикладной блок составляют следующие задачи: решение неравенств и их систем, построение графиков, решение текстовых задач и прочее. Под прикладными умениями в контексте нашего исследования мы понимаем умение решать задачи, в которых уравнения выступают как средство решения.

§3. Методические рекомендации по осуществлению контроля при изучении линии уравнений в основной школе

На основе проведенного анализа содержания программы по математике, анализа изложения тем, связанных с изучением уравнений, в школьных учебниках по алгебре, можно сделать следующий вывод: для успешной проверки знаний, умений, навыков учащихся можно выделить три основных блока, подлежащих контролю, - теоретический, практический, прикладной. В соответствии с выделенными в предыдущем параграфе блоками учебного материала по теме «Уравнения», а также рассмотренными в первой главе основными формами контроля дадим некоторые методические рекомендации по осуществлению проверки знаний, умений и навыков учащихся при изучении уравнений в основной школе.

Теоретический блок

Проверять следует те знания, которые являются ведущими в данном курсе или относительно трудно усваиваются учащимися, или, которые необходимы для успешного усвоения дальнейших разделов и тем курса. На контроль теоретических знаний оказывает влияние вид проверки: для уточнения содержания материала при текущей проверке необходим анализ связей изучаемого материала с ранее пройденным, а для тематической и итоговой проверки - выделение ведущих знаний и способов оперирования ими. Как известно, практики без теории не бывает.

Теоретические знания могут быть проверены при помощи теста на заполнение пропусков в истинном утверждении (глава I §6 с. 29). Приведем пример такого теста проверки теоретического материала по теме «Квадратные уравнения» по учебнику [5], при которой проверяются следующие знания: определение квадратного уравнения и его корня, неполного квадратного уравнения, дискриминант и количество корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта, теорема Виета (Приложение 2).

Тесты могут состоять из комбинации заданий с выбором ответа, на заполнение пропусков и установление соответствия. Приведем пример таких тестов (Приложение 3).

Тест №1 является диагностирующим, направлен на предупреждение неуспеваемости, связанной с наличием пробелов, препятствующих успешному усвоению новой информации. Перед изучением темы «Системы уравнений» учитель должен быть уверен, что его ученики владеют базовыми знаниями, например, по теме «Квадратные уравнения».

Тест №2 проводится, как правило, после изучения нового материала, но перед решением основных, типовых задач на применение полученных знаний. Основной целью этого тестирования является закрепление и проверка навыков составления и решения системы уравнений по условию задач различной ситуации; выявление пробелов в знаниях по теме «Системы уравнений». В качестве примера рассмотрим тест №2 (Приложение 3) по учебнику [15], контролирующий степень усвоения темы «Системы уравнений» [18].

Тест №3 предназначен для заключительного контроля после того, как уже проведены уроки по решению задач на применение новых знаний. В тест включены вопросы для определения глубины усвоения материала, а не для его простого репродуктивного воспроизведения. Рассмотрим в качестве примера тест №3 (Приложение 3), систематизирующий знания и умения по теме «Системы уравнений» [42].

Тест №4 включает в себя задания повышенной сложности по теме «Уравнения». Данный тест можно предложить отличникам на итоговом уроке после проведения контрольной работы на время проведения анализа контрольных работ с другими учащимися [18].

В силу специфики математических диктантов (глава I §6 с. 27) (воспринимаемые на слух вопросы, лаконичные ответы) их педагогические возможности ограничены. С их помощью, как правило, можно проверить, усвоили ли учащиеся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Поэтому ошибкой было бы противопоставлять диктанты другим формам контроля, например, самостоятельным работам. Одно и то же задание, в принципе, может быть и в диктанте, и в самостоятельной работе. Но эти задания будут иметь разную дидактическую функцию. В самостоятельной работе от ученика требуется фиксирование хода работы, что делает подконтрольным поиск результата. В математическом диктанте контроль может вестись лишь по конечному результату. Не по всякой теме можно и нужно проводить математический диктант. Рассмотрим пример математического диктанта для 9-ого класса по теме «Уравнения» (Приложение 4).

Практический блок

Общие умения, выделенные в предыдущем параграфе, отрабатываются на уроках алгебры и при самостоятельном выполнении домашних заданий. Традиционно организовать проверку можно при помощи домашних контрольных работ, самостоятельных работ и контрольных работ. Теоретические знания и практические умения учащихся могут быть проверены в ходе итогового контроля в форме экзамена. Эффективной формой тематического контроля знаний, умений, навыков учащихся является урок-зачет, в ходе которого могут быть проверены теоретические знания и практические умения.

Домашняя контрольная работа носит обучающий характер. Приведем пример домашней контрольной работы для 9-ого класса к учебнику [6] по теме «Решение квадратных уравнений различными способами» по учебнику [28] (Приложение 5).

Самостоятельные работы (глава I §6 с. 22) носят обучающий характер. Они представлены в двух вариантах. В каждой работе представлены два блока заданий. Первый блок, расположенный над чертой, состоит из стандартных тренировочных упражнений. Второй блок, расположенный под чертой, состоит из заданий, усложненных по сравнению с заданиями первого блока в алгоритмическом или логическом плане и способствующих развитию учащихся. Рассмотрим пример самостоятельной работы «Уравнения и системы уравнений» для 9-ого класса (Приложение 6), которая может быть использована, когда преподавание ведется по учебнику [6].

Контрольная работа (глава I §6 с. 24) одна из наиболее применяемых форм тематического контроля знаний учащихся. Организация тематического контроля в форме контрольных работ позволяет не только осуществлять контролирующую и оценивающую роль проверки знаний учащихся, но и содействует реализации программных требований к уровню знаний, умений и навыков учащихся. Рассмотрим пример контрольной работы по теме «Системы уравнений» для учащихся 9-ого класса (Приложение 7), которая может быть использована, когда преподавание ведется по учебнику [15]. В вариант включены задания, соответствующие уровню обязательной подготовки, и одно задание повышенной сложности [28].

Прикладной блок

Данный блок включает в себя прикладные умения (нахождение неизвестного функции, при котором она принимает конкретное значение, решение неравенств и прочее). Уравнение становится не целью, а средством, помогающим решить неравенство, систему неравенств. Речь идет об использовании уравнений при решении неравенств и их систем. С помощью уравнений можно найти точки пересечения с осью Оx, построить график, составить задачу. В Приложении 8 приведем пример применения уравнений при изучении темы «Уравнения» и других тем курса в форме ЕГЭ (глава I §6 с.31)[24].

Для проработки и проверки уровня достигнутых знаний по курсу решение уравнений различного вида можно использовать развивающую самостоятельную работу (глава I §6 с.25) [28]. Пример самостоятельной работы приведен в Приложении 9.

Итак, проверка знаний, умений и навыков учащихся - это составная часть учебного процесса, направленная на объективный анализ хода изучения и усвоения учениками программного материала, усиление ответственности школьников за качество самостоятельной работы. Для того, чтобы ученики успешно усваивали учебный материал, устраняли пробелы в своих знаниях, необходимо иметь полную информацию об эффективности их работы. Чтобы определить содержание контроля, сначала выделяются его объекты (то есть указывается то, что контролируется после изучения материала), а затем устанавливается, с помощью каких форм проверки можно это сделать. С точки зрения цели обучения к таким объектам в курсе алгебры 7-9 классов при изучении линии уравнений можно отнести: теоретические знания, прикладные знания. Особое внимание уделяется разработке содержания контроля знаний учащихся. Содержание обусловлено дидактическими целями и задачами, стоящими при изучении темы, раздела или всей учебной дисциплины в целом, и изменяется в зависимости от места контроля в учебном процессе [47].

§4. Опытное преподавание

Опытное преподавание осуществлялось в МОУ СОШ им. С. С. Ракитиной г. Мураши. В качестве основной экспериментальной базы был выбран 7а класс, в котором был проведен спаренный урок по теме «Линейные уравнения с двумя переменными». В качестве контроля по данной теме была проведена самостоятельная работа. Анализ данной самостоятельной работы, ее качественные и количественные характеристики показывают, насколько эффективен был контроль знаний, осуществляемый учителем на предыдущих этапах обучения.

Пример урока приведен далее. Так же в виде плана в Приложении 10 приведены уроки по теме «Системы уравнений» на базе учебника [15]. Данные уроки в настоящее время используются учителями математики в МОУ СОШ ИМ. С. С. Ракитиной г. Мураши.

Тема урока: линейные уравнения с двумя переменными.

Тип урока: урок введения нового материала, урок первичного закрепления.

Цели:

1) общедидактическая цель: создать учащимся условия для получения и осмысления новых знаний, выработке умений и навыков применять знания при решении задач.

Триединая дидактическая цель:

1) образовательный аспект: создание условий для проверки знаний учащихся по данной теме, выявления имеющихся пробелов и организации работы по их ликвидации;

2) развивающий аспект: создание условий для развития практического мышления при использовании математических знаний, внимания, памяти, логического мышления, коммуникативных умений;

3) воспитательный аспект: создание условий для выработки у учащихся правильной самооценки уровня своих знаний, создание условий для воспитания внимания, наблюдательности, сосредоточенности, аккуратности ведения записей в тетради.

Учебник [4]

Урок

I. Организационное начало урока.

- Здравствуйте, садитесь.

II. Сообщение темы и цели.

- Сегодня на уроке мы познакомимся с уравнениями нового вида - «Линейными уравнениями с двумя переменными».

III. Актуализация знаний учащихся.

- Посмотрите на доску. Какие из этих уравнений вам уже знакомы?

1) 1)

- А как называются эти уравнения?

- Правильно, это линейные уравнения с одной переменной.

- А кто скажет определение линейного уравнения с одной переменной?

- Уравнение вида , в котором x - переменная, а а и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

- Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной.

- Посмотрите на доску, перед вами линейные уравнения. Давайте вспомним, как они решаются.

- Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «Линейные уравнения с двумя переменными».

- Все решают уравнения в тетрадях, а …….. пойдет к доске и решит с подробным объяснением первое уравнение: .

(Перенесем слагаемое без х в правую часть уравнения, изменив при этом его знак на противоположный , вычислим результат . Разделим обе части уравнения на 2, получим х=2).

- Молодец. Садись.

- Второе уравнение пойдет решать …….

(Раскроем скобки: для этого умножим на 2 каждое слагаемое суммы , получим . Перенесем слагаемые, содержащие х в левую часть уравнения, а не содержащие х - в правую часть, изменив при этом знаки на противоположные . Приведем подобные слагаемые:).

- Ребята, такие уравнения вы хорошо умеете решать, а какие свойства вы применяли при решении этих уравнений? (Если в уравнении слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному).

- А какое еще свойство вы применяли?

(Если разделить или умножить обе части уравнения на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному).

IV. Изучение нового материала.

- Ребята, а сегодня мы познакомимся с уравнениями нового вида.

- Пусть известно, что одно их двух чисел на 5 больше другого. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства , содержащего 2 переменные. Такие уравнения называются уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

- Уравнениями с двумя переменными также являются уравнения: , , , (запись на доске).

- Из этих уравнений первые два имеют вид , где а, b, с - числа. Такие уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными. - Итак, что же называется линейным уравнением с двумя переменными? Попробуйте сформулировать определение (формулируют)

- Итак, линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где х и у - переменные, а, b, с, - некоторые числа.

- Откройте учебники на странице 174. Прочитайте определение про себя.

- Теперь прочитайте вслух.

- Повтори,

- Рассмотрим уравнение . При х=8, у=3 оно обращается в верное равенство 8-3=5. Говорят, что пара значений переменных х=8, у=3 является решением этого уравнения. Записываю на доске: х-у=5, х=8, у=3 8-3=5 - верное равенство. Итак, х=8, у=3 - решение данного уравнения. Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

- Прочитайте это определение на странице 174 про себя.

- Прочитайте определение вслух.

- Повтори,

- А какие еще пары чисел будут являться решениями уравнения ? (х=105, у=100; х=4, у= -1,…)

- Правильно, решениями этого уравнения будут являться числа, разность которых равна 5.

- Иногда пары значений переменных записывают короче: (105; 100), (4;- 1). (Запись на доске).

- При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой - на втором. В записи решений уравнения с переменными х и у на первом месте записывают значения х, а на втором - значение у.

- Уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

- Ребята, при решении линейных уравнений с одной переменной мы вспомнили их свойства. А какими свойствами обладают линейные уравнения с двумя переменными? Откройте учебники на стр. 175. Прочитайте эти свойства про себя.

- Так какими же, …..? Прочитай вслух. …….., повтори свойства.

- Рассмотрим уравнение . Воспользовавшись свойствами уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например у, через х. Для этого, перенесем слагаемое 5х в правую часть уравнения, изменив его знак: . Разделим обе части этого уравнения на 2: . Уравнения и - равносильны.

- Пользуясь формулой , можно найти сколько угодно решений уравнения . Для этого достаточно взять произвольное х и вычислить соответствующее ему значение у. Например: если х=2, то у = -2,5, 2+6=1. Если х=0,4, то у = -2,5*0,4+4=5. Пары чисел (2; 1), (0,4; 5) - решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечно много решений.

V .Первичное закрепление.

- Что же называется линейным уравнением с двумя переменными?

- Выполним № 1092 на странице 175 устно.

- Прочитай задание.

- Является ли первое уравнение линейным? (Да).

- Почему? (Т.к. имеет вид )

- А второе уравнение? (Нет).

- Почему? (Т.к. уравнение не приводится к виду , х имеет показатель степени 2). (Далее аналогично).

- А теперь запишите № 1094.

- Прочитай задание.

- Как ответить на этот вопрос? (Подставить значение х и у в уравнение, если получится верное равенство, то х и у является решением уравнения).

- ……. решает у доски, остальные - в тетрадях. (Решают)

- А какие еще числа могут быть решениями этого уравнения? (Числа, дающие в сумме 6: 4 и 2, 3 и 3 и так далее).

- Запишите любые 2 решения этого уравнения.

- Не забывайте, что значение х пишется на первом месте, а у - на втором месте.

VI. Самостоятельная работа

- Итак, сегодня мы познакомились с новым видом уравнений - линейными уравнениями с двумя переменными. Сейчас проверим, как вы усвоили данную тему. Запишите в тетрадях самостоятельная работа и номер своего варианта.

Вариант 1 Стр. 176, № 1096, №1099 (а), №1104 (б).

Вариант 2 Стр. 176, № 1097, №1099 (б), №1104 (а).

Дополнительно: №1103.

(Сдают тетради)

VII. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

- Запишите домашнее задание: № 1101, №1107.

- А теперь повторим:

- Какой вид имеет линейное уравнение с двумя переменными?

- Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

- Какими свойствами обладают уравнения с двумя переменными?

Анализ урока

Данный урок был проведен в классе с довольно разными показателями успеваемости: из 17 человек шестеро весьма успешны в учебной деятельности (двое отличников и четверо хорошистов), восемь имеют среднюю успеваемость, но есть и слабые по успеваемости учащиеся. Однако, результаты самостоятельной работы достаточно высокие. Большинство ошибок было допущено в вычислениях по невнимательности, не из-за незнания материала, а из-за стремления выполнить самостоятельную работу за минимальный промежуток времени. Ликвидация данной проблемы заключалась в неявном указании на ошибки (проверь, повтори правило, прочти еще раз задание), так как это обучающая самостоятельная работа, на которой возможна помощь учителя.

Данные количественного анализа самостоятельной работы представлены в таблице 4 (глава I §6 с. 25)

Таблица 4

1	2	3	4	5
Вариант	Количество учащихся в классе	Количество учащихся, выполнявших работу	Оценка	Правильно выполненные задания
			5	4	3	2	1	1	2	3
1	17 (1 отсут.)	9	6	3	0	0	0	9	7	8
2		7	4	2	1	0	0	7	4	6

Данные качественного анализа представлены в таблице 5 (глава I §6 с. 25).

Таблица 5

Фамилия учащегося	1 задание	2 задание	3 задание
	Виды ошибок
	1 Вычисления	2 Запись	3 Не приступали	1	2	3	1	2	3
Балясникова Ю.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Бородин А.	-	-	-	-	+	-	-	-	-
Выдрина А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Еремин М.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Ефремов Н.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Зайцева В.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Заянова А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Зотов О.	-	-	-	+	-	-	-	-	-
Зырянова А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Коваленко С.	-	-	-	-	-	-	+	-	-
Лебедев В.	-	-	-	-	+	-	-	-	-
Макаров	-	-	-	+	-	-	-	-	-
Менчиков М.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Метелева А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Метелева К.	-	-	-	-	+	-	-	-	+
Сапрыкин А.	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Ситчихин А.

На основании сказанного можно сделать вывод, что контроль знаний был эффективен. Примером может служить то, что данная тема включает в себя все основные моменты темы «Уравнения с одной переменной», усвоение которой способствовало восприятию новой темы «Линейные уравнения с двумя переменными», ведь основная масса ошибок произведена по невнимательности, а не из-за отсутствия умений применять правильно полученные знания.

Заключение

Вопросы проверки знаний, умений и навыков учащихся в настоящее время достаточно широко освещаются в научно методической литературе. Однако на практике многие учителя испытывают большие затруднения в организации и проведении контроля. Вся система контроля знаний, умений и навыков учащихся должна планироваться таким образом, чтобы охватывались все обязательные результаты обучения для каждого ученика. Одновременно в ходе контроля надо дать учащимся возможность проверить себя на более высоком уровне, проверить глубину усвоения материала.

В процессе теоретического и практического исследования в соответствии с поставленной целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

1. В школьной практике необходимо регулярное слежение за качеством математических знаний учащихся, что требует определенной системы контроля. В качестве такой системы мы предлагаем использовать различные виды контроля при анализе всех трех блоков учебного материала по теме «Уравнения»: теоретического, практического и прикладного.

2. Система контроля математических знаний учащихся учебного процесса основывается на: разработке системы контрольных мероприятий; разработке контрольных задании, позволяющих повысить объективность оценки и сделать вывод о качестве математических знаний и при необходимости внести изменения и коррективы в процесс обучения.

3. Разработана и экспериментально проверена методика контроля математических знаний учащихся.

В ходе эксперимента подтвердилось предположение о том, что использование изложенных в данной работе теоретических положений и методических рекомендаций способствует организации более эффективного, полного и объективного контроля знаний и умений учащихся при изучении уравнений, усиливает подготовку школьников по данной теме.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что задачи исследования решены, цель исследования достигнута, гипотеза подтверждена. Результаты апробации и внедрения предложенной методики контроля математических знаний учащихся общеобразовательных учреждений свидетельствуют о возможности и целесообразности ее использования в основной школе.

Библиографический список

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. ср. шк. [Текст] / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М: Просвещение, 1993. - 191 с.

2. Алгебра: учеб. для 8 кл. ср. шк. [Текст] / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 239с.

3. Алгебра: учеб. для 9 кл. сред. шк. [Текст] / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1992. - 223 с.

4. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк., К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 223 с.

5. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 239 с.

6. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 270 с.

7. Алгебра. 7 кл.: учеб. для шк. и кл. с углубл. изуч. математики [Текст]/Ю. Н. Макарычев и др. - М.: Мнемозина, 2000. - 272 с.

8. Алгебра. 8 кл.: учеб. для шк. и кл. с углубл. изуч. математики [Текст]/Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков. - М.: Мнемозина, 2001. - 367 с.

9. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 285 с.

10. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 1997. - 287 с.

11. Алгебра: учеб. пособие для учащихся 8 кл. с углубл. изучением математики [Текст] / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др.; под ред. Н. Я. Виленкина. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 256 с.

12. Алгебра для 9 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики [Текст] / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; под ред. Н. Я. Виленкина. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1999. - 384 с.

13. Алгебра. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 223 с.

14. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 223 с.

15. Алгебра. 9 кл.: учеб. и задачник для общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 192 с.

16. Алгебра. 8 кл.: учеб. для кл. с углубл. изуч. математики [Текст] / А. Г. Мордкович. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 256 с.

17. Алгебра. 9 кл.: учеб. для кл. с углубл. изуч. математики [Текст] / А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2004. - 296 с.

18. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы по учебнику А. Г. Мордковича и др. «Алгебра. 9 класс» [Текст] / Н. А. Ким. - Волгоград: ИТД Корифей. - 128 с.

19. Алексеева, Л. Тестовый контроль усвоения знаний, умений и навыков [Текст] / Л. Алексеева // Газета математика. - 1998. - № 46. - С.8-11.

20. Арифметика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000. - 270 с.

21. Арутюнян, Е. Б. Математические диктанты для 5-9 классов [Текст]: кн. для учителя / Е. Б. Арутюнян, М. Б. Волович, Ю. А. Глазков, Г. Г. Левитас. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

22. Борода, Л. Я. Некоторые формы контроля на уроке [Текст] / Л. Я. Борода //Математика в школе. - 1988. - №4. - С.18-21.

23. Вахламова, А. П. О систематической взаимопроверке знаний учащихся на уроках [Текст] / А. П. Вахламова, Е. С. Рабунский // Математика в школе. - 1979. - № 1. - С. 17-18.

24. Высоцкий И. О концепции и содержании Единого государственного экзамена по математике [Текст] / И. Высоцкий, Л. Звавич // Газета математика. - 2004. - № 2. - С. 6-9.

25. Гиршович, В. С. Виды самостоятельных работ [Текст] / В. С. Гиршович // Математика в школе. - 1998. - № 3. - С.37-40.

26. Дорофеев, Г. В. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике [Текст] / Г. В. Дорофеев, Кузнецова Л. В., Кузнецова Г. М. и др. - М.: Дрофа, 2000. - 80 с.

27. Ерецкий, М. И. Проверка знаний, умений и навыков [Текст]: учебное пособие / М. И. Ерецкий, Э. С. Пороцкий - М.: Высшая школа, 1978.

28. Звавич, Л. И. Контрольные и проверочные работы по алгебре. 9 кл.: методическое пособие [Текст] / Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник, Б. В. Козулин. - 3-е изд. - М.: Дрофа, 2005. - 93 с.

29. Квашко, Л. П. Тестовая проверка уровня усвоения знаний [Текст] / Л. П. Квашко // Математика в школе. - 1994. - № 4. - С. 49-51.

30. Квашко, Л. П. Тесты - в практику преподавания математики [Текст] / Л. П. Квашко // Математика в школе. - 1996. - № 2. - С.48-50.

31. Колесникова, Т. В. ЕГЭ. Математика. 9 кл. Экспериментальная экзаменационная работа. Типовые тестовые задания [Текст] / Т. В. Колесникова, С. С. Минаева. - М.: Издательство «Экзамен», 2007. - 62 с.

32. Манвелов, С. Г. Конструирование современного урока математики: кн. для учителя [Текст] / С. Г. Манвелов - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2005. - 175 с.

33. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд - 19-е изд. - М: Мнемозина, 2006. - 280 с.

34. Математика. 6 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст] / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 20-е изд., стер. - М: Мнемозина, 2007. - 280 с.

35. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, И. Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, 1997. - 416 с.

36. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.; под ред. Г. В. Дорофеева. - 3-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 288 с.

37. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.; под ред. Г. В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1999. - 304 с.

38. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.; под ред. Г. В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000. - 352 с.

39. Математика: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000. - 287 с.

40. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов [Текст] / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Калинина и др.; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

41. Методические рекомендации по математике [Текст] / Л. В. Потемкин, Я. С. Бродский, 3. Я. Хаметова и др.; под. ред. И. А. Лурье - М.: Высш. шк., 1986. - 112 с.

42. Мордкович, А. Г. Алгебра: Тесты для 7 - 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2006. - 127 с.

43. О совершенствовании методов обучения математике: пособие для учителя [Текст] / сост. В. С. Крамор - М.: Просвещение, 1978.

44. Педагогика: учебное пособие для студентов педагогических высших учебных заведений и педагогических колледжей [Текст] / под. ред. П. И. Пидкасистого. - М.: Педагогическое общество России, 1998.

45. Педагогика: учебное пособие для студентов педагогических учебных заведений [Текст] / В. А. Сластенин, И. Ф. Исаев, А. И. Мищенко, Е. Н. Шиянов. - М.: Школа-Пресс, 1997. - 512 с.

46. Пейп, С. Дж. Учебные портфолио - новая форма контроля и оценки достижений учащихся [Текст] / С. Дж. Пейп, М. Чошанов // Директор школы. - 2000. - № 1.

47. Питишкина-Потанич, Е. Контроль знаний учащихся [Текст] / Е. Питишкина-Потанич, В. Питишкин-Потанич // Народное образование. - 1985. - № 3. - С. 68-71.

48. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. [Текст] / сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2002. - 320 с.

49. Темербекова, А. А. Методика преподавания математики: учеб. пособие для студ. специальности 032100 «Математика» [Текст] / А. А. Темербекова. - М.: Владос, 2003. - 176 с.

50. Фридман, Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: учителю математики о пед. психологии [Текст] / Л. М. Фридман - М.: Просвещение, 1983.- 160с.

51. Царева, В. Контроль и проверка знаний учащихся [Текст] / В. Царева // Учитель. - 1998. - № 4. - С. 64-66.

Приложение 1

Тест

1. Квадратным уравнением называется уравнение вида где … - переменная,- некоторые числа, причем не равен 0.

2. Уравнение вида называется квадратным уравнением.

3. Для уравнения , если >0, то уравнение имеет …. корня, если <0, то уравнение

4. Выражение называют квадратного уравнения.

5. Если D>0, то квадратное уравнение имеет корня, если D=0, то x=

6. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно

7. В п. 6 сформулирована

Приложение 3

Тест №1

Дополните

1. Является ли предложенный многочлен квадратным трехчленом? (да, нет)

· …….

2. Дискриминант уравнения ………0, поэтому уравнение имеет

3. Сумма квадратов корней уравнения равна

4. Квадратное уравнение имеет только один корень при p=

Установите соответствие

5. Уравнения и числа, являющегося корнем данного уравнения

1) a) 1 b) 5 c) 3

6. Уравнения и суммы его корней

1) a) b) c) d)

Тест №2

Дополните

1. Значение произведения …….., где - решение системы уравнений .

2. Система уравнений имеет …. решений.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17см, а периметр треугольника равен 40см. Тогда катеты прямоугольного треугольника равны см и …. см.

Обведите кружком номер правильного ответа

4. Сколько решений уравнения находится среди чисел , , ?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

5. Какая из ниже указанных пар чисел является решением системы уравнений ?

A. B. C. D.

6. Укажите значение суммы , если известно, что - решение системы уравнений .

А. 5; B. 3; C. 0; D. 1.

7. При каком значении параметра p система уравнений имеет три решения?

А. 4; B. 0; C. -4; D. нет такого параметра.

8. Решите задачу: две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 4 часа. Первая труба в отдельности может наполнить его на 6 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов заполняет бассейн первая труба?

А. 6ч; B. 5ч; C. 4ч; D. 3ч.

Тест №3

1. Сколько решений уравнения находится среди пар чисел , , ?

А. 0 В. 1 С. 2 D. 3

2. Какая из нижеуказанных пар чисел является решением системы уравнений ?

А. B. C. D.

3. Укажите значение суммы , если известно, что - решение системы уравнений .

А. 1; B. -3; C. 2; D. 0.

4. Воспользовавшись графическим методом, ответьте на вопрос, сколько решений имеет система уравнений ?

А. 0; B. 1; C. 2; D. 3.

5. Укажите значение произведения , если известно, что - решение системы уравнений .

А. 12; B. -12; C. 6; D. -6.

6. При каком значении параметра p система уравнений имеет одно решение?

А. 1; B. 0; C. -1; D. Не существует такого значения p.

Тест №4

№1	1. Укажите сумму корней уравнения: 1) 0, 5; 2) -1,2; 3) -0,3; 4) 0,9. 2. Найдите , если . 1) -27abc; 2) -81abc; 3) -81a2 b2 c2; 4) -27abc2; 5) 81abc;
№2	1. Найдите сумму корней уравнения . 1) -6; 2) 0; 3) -5; 4) 6; 5) 7. 2. Известно, что . Чему может равняться ? 1) 0; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 8 или 0.
№3	1. Решите уравнение 1998x2 - 2000x+2=0. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 2. Найдите x+y, если числа x и y удовлетворяют равенству . 1) 4; 2) 1; 3) 3; 4) 2; 5) 5.
№4	1. Найдите разность кубов большего и меньшего корней уравнения 1) -2; 2) -1; 3)2; 4) 1; 5) . 2. Чему равно , если имеет место ? 1) 26; 2) 27; 3) 28; 4) 25; 5) 24.
№5	1. Сколько отрицательных корней имеет уравнение ? 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 2. Найдите наименьшее значение выражения . 1) -10; 2) -12; 3) -11; 4) -13; 5) -8.
№6	1. Сколько отрицательных корней имеет уравнение ? 1) ; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4. 2. Найдите наименьшее значение выражения . 1) -1; 2) 0; 3) -2; 4) 1; 5) -0,5
№7	1. x и z удовлетворяют уравнению . Чему равно произведение ? 1) 0,25; 2) 0,4; 3) 0,5; 4) 1; 5) - 0,8 2. Укажите наибольшее значение выражения . 1) 10; 2) 5; 3) 4; 4) 2; 5)
№8	1. Если , то чему равно обратное число к ? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 2. Чему равно наименьшее значение выражения ? 1) 10; 2) 20; 3) 100; 4) 25; 5) 50.
№9	1. Если , то чему равно обратное число к ? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 2. При каком, выраженном через a и b, значении m, выражение будет полным квадратом? 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Карточка для ответов

№ карточки	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1 задание
2 задание

Приложение 4

Диктант по теме «Уравнения»

1. Как одним словом можно назвать два уравнения, имеющие одинаковые корни или не имеющие корней?

2. Может ли нарушиться равносильность, если выполнить следующее преобразование:

1) в уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены;

2) в уравнении дробь сократить на ;

3) обе части уравнения разделить на ;

4) в уравнении разность заменить нулем?

3. Какой математик доказал теорему, выражающую связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями?

4. Что надо искать прежде, чем корни квадратного уравнения?

5. Изобразите, как располагается график квадратного уравнения относительно оси абсцисс, если:

1) D>0;

2) D=0;

3) D<0.

6. Перечислите приемы, с помощью которых можно решить уравнение .

7*. Какой математик однажды заметил, что: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному»?

Приложение 5

Домашняя контрольная работа

Вариант 1

10.

11.

12.

Вариант 2

10.

11.

12.

Вариант 3

10.

11.

12.

Приложение 6

Самостоятельная работа «Уравнения и системы уравнений»

Вариант 1

1. Решите уравнение

2. Найдите все неотрицательные решения уравнения

3. Решите систему уравнений

4. Решите систему уравнений

5. Напишите формулы n-го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии, если

6. Товарный поезд был задержан в пути на 18 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Вариант 2

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

3. Решите систему уравнений

4. Решите систему уравнений

5. Напишите формулы n-го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии, если

6. Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Приложение 7

Контрольная работа

Вариант 1

Вариант 2

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

2. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

3. Решите графически систему уравнений:

4. Сумма цифр двузначного числа равна 10. Если поменять местами его цифры, то получится число, больше данного на 36. Найдите данное число.

4. Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7. Найдите эти числа.

5*. При каком значении параметра a система уравнений

имеет: а) одно решение;

б) три решения?

Приложение 8

ЕГЭ

ТЕСТ 1

Часть 1

1. Из формулы периметра прямоугольника выразите b.

A. Б. В. Г.

2. Решите уравнение:

A. -0,5 Б. -0,8 В. 0,5 Г. 0,8

3. Решите систему уравнений:

Ответ: ___________________

4. Решите неравенство:

A. Б. и В. любое число Г. Нет решений

5. Соотнесите уравнение прямой с графиком этой прямой (рис. 1).

Рис. 1

6. В книжном шкафу на верхней полке книг в три раза больше, чем на нижней. После того, как на нижнюю полку добавили 6 книг, а с верхней взяли 2 книги, на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на нижней полке?

Если обозначить буквой x число книг на нижней полке, то какое уравнение можно составить по условию задачи?

B. Б. В. Г.

Часть 2

1. Сосна на 50% выше ели. Если каждое дерево подрастет еще на 10 см, то сосна будет выше ели на 25%. Найдите первоначальную высоту ели.

2. Графиком квадратичной функции служит парабола с вершиной в точке D (6; -8), пересекающая ось ординат в точке K (0; 10). Задайте эту функцию формулой и постройте ее график.

3*. Решите систему уравнений:

ТЕСТ 2

Часть 1

1. Выразите из формулы переменную x.

А. Б. В. Г.

2. Решите уравнение

А. 1; 0,8 Б. -1; -0,8 В. 1; 0,6 Г. -1; -0,6

3. Используя графики функций и (рис. 2), решите систему уравнений

Рис. 2

Ответ: ______________________

4. Из города в поселок, расстояние до которого 90 км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости автобуса, а поэтому он пришел в поселок на ч раньше автобуса. Найдите скорость автобуса.

Какое уравнение можно составить по условию задачи, если буквой x обозначить скорость автобуса (в км/ч)?

А. Б. В. Г.

5. Решите неравенство:

А. x<0 Б. x<0 В. Нет решений Г. любое рациональное число

6. В таблице показана зависимость между величинами x и y.

x	2	3	4	5
y	3	5	7	9

Какое из следующих уравнений описывает эту зависимость?

А. Б. В. Г.

Часть 2

1. Решите систему уравнений:

2*. Периметр пола прямоугольной комнаты равен 16 м. Площадь пола на 26 м2 меньше площади стен. Найдите площадь пола, если известно, что объем комнаты равен 35 м2.

3*. С помощью графиков определите, при каких значениях p уравнение имеет единственный корень.

Бланк ответов

Тест 1

Часть 1

№ задания №ответа	1	2	4	5	6
А				3)
Б			*	4)	*
В		*		1)
Г	*			2)

Задание № 3: (-2; 4) и (4; -2)

Часть 2

1. 10

3. (3; 2) и (-1; )

Тест 2

Часть 1

Задание № 3: (4; 3) и (-3; -4)

Часть 2

1. (9; 1)

2. 14 м2

3. p<0

Приложение 9

Развивающая самостоятельная работа

№1. Решение уравнений вида

1. Проверьте, что уравнение равносильно совокупности и решите уравнения.

Вариант 1

Вариант 2

№2. Решение уравнений вида

1. Проверьте, что уравнение равносильно системе и решите уравнения.

Вариант 1

Вариант 2

№3. Решение однородных уравнений

Вариант 1

1. Решите уравнение относительно a.

2. Используя полученные результаты, решите уравнение:

Вариант 2

1. Решите уравнение относительно a.

2. Используя полученные результаты, решите уравнение:

№4. Решение уравнений методом разложения на множители

Вариант 1

Вариант 2

Приложение 10

Тема: Системы уравнений

Урок 1. Основные понятия

Цели урока: повторить построение графика линейной функции, квадратной функции, функции квадратного корня, окружности и функции модуля; ввести понятие «построение графика уравнения»; сформировать умение составлять уравнение окружности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 37 - 42):

1. Ввести определение рационального уравнения.

2. Ввести понятие решение уравнения.

3. Ввести понятие равносильности уравнений и равносильности преобразования.

4. Построить график уравнения: 1) 2) 3)

III. Закрепление нового материала.

Решение заданий из №88, №89, №93 (а, г), №94 (а, г), №96 (а, г).

Написать уравнение окружности в №99 - 101.

IV. Подведение итогов.

V. Домашнее задание: №92, №97, №93 (б, в), №94 (б, в), №96 (б, в); теория в учебнике, стр. 37 - 42; рабочая тетрадь, стр. 18, №2.

Урок 2. Основные понятия

Цели урока: закрепить умение строить график уравнения; сформировать умение решать графически систему уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

Объяснение нового материала (стр. 37 - 42):

1. Такая форма проверки может применяться как для всего класса, так и для отдельных учащихся, или во время устного опроса, или в течение всего урока.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
а	б	в	г
№90, 95, 103, 102

2. Описать основные результаты по рабочей тетради на стр. 23.

III. Устный опрос по теме.

1. Какие уравнения называются рациональными?

2. Приведите примеры рациональных уравнений.

3. Что значит решить рациональное уравнение?

4. Какие уравнения называют равносильными?

5. Какие преобразования уравнения называют равносильными?

6. Перечислите неравносильные преобразования уравнения.

7. Что означает построить график уравнения?

8. Какое уравнение является уравнением окружности?

9. Какая функция является графиком уравнения: 1) 2) 3) 4)

IV. Решение задач.

Решить графически систему уравнений в №105. Построить график уравнения в №110. Решение заданий по группам.

Группа А: №98, 104, 111, 114; группа Б: №108, 113, 115, 116.

V. Подведение итогов.

VI. Домашнее задание: №106, 107, 112; на дополнительную оценку - №117 - 119; теория в учебнике, стр. 43 - 46; рабочая тетрадь, стр. 8, №3.

Урок 3. Методы решения систем уравнений

Цели урока: сформировать умение решать системы уравнений методом подстановки.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

1. Постройте график уравнения:

Вариант 1

Вариант 2

2. Напишите уравнение окружности:

с центром в точке (2;0) и радиусом 7

с центром в точке (0;4)и радиусом 7

3. Решить графически систему уравнений.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 47 - 48):

1. Рассмотреть алгоритм метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными.

2. Решить систему методом подстановки

IV. Закрепление нового материала.

У доски решают №120, 121, 122 по схеме: задание а решает учащийся из группы Б с подробным объяснением; задание б и в решают два учащихся из группы А, а проверяют их решение два учащихся из группы Б; задание г решает опять учащийся из группы Б с подробным объяснением.

V. Подведение итогов.

VI. Домашнее задание: №123, 124; теория в учебнике, стр. 47 - 48; рабочая тетрадь, стр. 19, №4.

Урок 4. Методы решения систем уравнений

Цели урока: сформировать умение решать системы уравнений методом алгебраического сложения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

У доски двое учащихся решают задания №123(в), 124(б). Остальные задания проверяются с учащимися устно.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 48 - 49):

1. Рассмотреть метод алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными.

2. Решить систему методом алгебраического сложения:

1) 2)

IV. Закрепление нового материала.

Решить задания из №125(б), 126(а, б), 127(а, б).

Проверочная работа по вариантам.

V. Подведение итогов.

VI. Домашнее задание: №125 - 127(в, г); теория в учебнике, стр. 48 - 49; рабочая тетрадь, стр. 22, №6, 7, 8.

Урок 5. Методы решения систем уравнений

Цели урока: сформировать умение решать системы уравнений методом замены переменных; сформировать умение решать системы уравнений различными методами.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

Вариант 1

Вариант 2

2. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 50 - 54):

1. Разобрать метод введения новых переменных на различных системах уравнений. Оформить все в таблицу:

Данная система уравнений	Введение новой переменной	Система уравнений с новыми переменными

2. Рассмотреть решение системы методом введения новой переменной:

III.

IV. Закрепление нового материала.

Решение заданий из №128, 129 у доски.

V. Подведение итогов.

VI. Домашнее задание: №130, 131; теория в учебнике, стр. 50 - 54; рабочая тетрадь, стр. 20, №5; на дополнительную оценку по вариантам:

VII.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
а	б	в	г
№132, 133, 134

	НОВОСТИ

Изменения

Прошла модернизация движка, изменение дизайна и переезд на новый более качественный сервер

	СЧЕТЧИК

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА
	© 2010

№ задания
№ответа