Математические предложения и методика их изучения

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Математические предложения и методика их изучения

Математические предложения и методика их изучения

Министерство образования Республики Беларусь

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Математические предложения и методика их изучения

Исполнитель:

Студентка группы М-31

Селиканова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Суждение - это такая форма мышления, в которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или отсутствие его свойств, связей.

Суждение - это форма связей понятий друг с другом, которая обладает двумя свойствами: 1) что-либо утверждает или отрицает; 2) является или истинным, или ложным.

Например: 1) любой параллелограмм есть ромб - ложно; 2) любой ромб есть параллелограмм - истинно; 3) “ есть функция” - суждение выражает связь понятий по объёму, т.е. - составная часть класса функций; вместе с тем ей присуще всё то, что свойственно функциям; 4) многочлен непрерывен при всех значениях независимой переменной - истинно.

Каждая наука есть определенная система суждений об объектах , являющихся предметом ее изучения.

Например: "Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов" - это суждение сформулировано в виде геометрического предложения, принадлежащего евклидовой геометрии , т. к. а) состоит из геометрических (сумма углов, треугольник 180 градусов) и логических (всякого, равна) терминов или символов; б) истинно т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии.

Суждения образуются в мышлении 2 способами: непосредственно и опосредовано.

Например: 1. Эта фигура - круг - суждения выражает результат восприятия.

2. x2=-2 - не имеет действительных корней суждений опосредованное, оно возникло в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением.

Умозаключение - процесс получения нового суждения - вывода из одного или нескольких данных суждений.

Например:

x2=-2 - уравнение;

квадрат действительного числа больше или равен нулю;

корень обращает уравнение в верное числовое равенство.

Из этих трех суждений получаем новое: уравнение x2=-2 не имеет действительных корней.

В математической логике используют термин “высказывание”, имеющий смысл, близкий к понятию “суждение”. Под высказываниями производятся следующие операции: а) отрицание высказывания; б) конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация.

Математическая логика, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов.

Для нее характерна формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного содержания предложений.

Например: (все растения красные)(все собаки - растения) =>(все собаки красные).

Раскрыть логическую структуру составного предложения, - значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Например:

Элементарные предложения:

дан АВС; (x) АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВДДС.

Составные предложения:

1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то ВДДС - истинное.

2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и ВДДС - ложное.А

3. Если ДВ=ВС и ВД не перпендикулярно АС,

то АДДС - истинное.

Логические структуры для 1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не z, то не y.

Например:

Если число целое и положительное, то оно натуральное;

Если число целое и не натуральное, то оно не положительное.

Аксиома - предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без доказательства.

Постулат - это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

Например, понятие а||b определяется двумя постулатами:

(a)(b);

(a=b)(ab=0).

Теорема - математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.

Можно отметить два подхода к пониманию теоремы:

А.В. Погорелов (геометрия “7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.

Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в) заключение.

Например, “если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.

Условие: сумма цифр числа n делится на 3

Заключение: само число делится на 3.

Разъяснительная часть: n - любое натуральное число.

Используя логическую символику, теорема представляется так:

- импликация (если …, то …).

Имея прямую теорему (), можно образовать новые теоремы:

1. - обратная;

2. - противоположная;

3. -обратная противоположной или контрапозитивная.

Эти теоремы обладают следующими свойствами:

а) () и () - одновременно истинны или ложны;

б) () и () - одновременно истинны или ложны.

Высказывание p называется необходимым условием для q, если импликация () есть истинное следствие. Например, чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.

p - четное число, q - число кратно 6. () - и.

Высказывание p называется достаточным условием для q, если импликация () есть истинное следствие. Например, чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25; q: кратно 5) (pq)

Замечание: Для определения необходимо условие следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.

Условие р называется необходимым и достаточным для q, если истины одновременно обе импликации: (pq) и (qp), т.е. имеет место эквивалентность.

Характеристическое свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества сходных объектов, позволяет его сконструировать.

Например, характеристическое свойство арифметической прогрессии:

начиная со второго члена, все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях)

Пример необходимого и достаточного условия:

Схематически полная логическое доказательство теоремы можно составить так: 1) точное понятие; 2) включаем все посылки; 3) не опускают никаких промежуточных рассуждений; 4) явно указывающее правила вывода.

В практике школьного обучения математики наиболее часто используется прямое доказательство, основанное на содержательном доказательстве в свернутом виде: 1) интуитивное понятие; 2) опускают некоторые в частности, общие посылки; 3) опускают отдельные шаги; 4) не фиксируют использование логики.

Например: Диагонали прямоугольника равны.

Теорему можно доказать: а) с помощью осевой симметрии; б) с помощью равенства прямоугольников. Отметим, что различные доказательства теоремы отличаются как математическими посылками, (используемыми в них истинными предложениями данной теории), так и логикой (используемыми правилами).

Доказательство 1.

“Если четырёхугольник - прямоугольник, то его диагонали равны” или “Если ABCD - прямоугольник, то AC=BD”.

Точка D симметрична A; B - симметрична C относительно MN (это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы: “Серединный перпендикуляр и сторона прямоугольника являются осью симметрии). Значит, отрезок AC и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому AC=BD.

Доказательство 2.

, т.к. они прямоугольные (), AB=CD как противоположные стороны прямоугольника; AD - общая сторона. Следовательно, AB=CD.

Методика введения теорем предполагает подготовку учащихся к восприятию ее доказательства.

1) Для того, чтобы учащиеся поняли логические части доказательства, применяют метод целесообразных задач.

Например: При доказательстве того факта, что угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями основания и перпендикулярного сечения, необходимого предварительно решить по готовым чертежам следующие задачи:

1. По данным на рисунке найти и угол между прямыми BO и OC.

Замечание: угол между двумя прямыми (двумя плоскостями) острый.

2. Угол между плоскостями и равен , прямая OA перпендикулярна плоскости , ; прямая OB перпендикулярна плоскости , . Найти угол между прямыми OA и OB.

2) Для подготовки учащихся к восприятию доказательства теоремы можно использовать прием многократного доказательства (например, тройная прокрутка).

а) учитель излагает схему (идею, канву) доказательства. Возможно, при этом использование эвристической беседы, которая может быть или аналитико-синтетический или синтетический. Вопросы должны быть сформулированы четко, отражая наиболее важные логические этапы доказательства. После каждого вопроса необходима пауза для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти ответ:

б) учитель излагает доказательство теоремы в виде краткого рассказа, обосновывая каждый шаг;

в) повторение доказательства в полном объеме.

Еще один прием обучения доказательством - обучение учащихся составленного плана доказательства теоремы, при котором выполняются следующие этапы:

· даётся готовый план доказательства новой теоремы и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана. Преимущества: 1) план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач, которые учащиеся могут решить; 2) у учащихся появляется уверенность в том, что они смогут доказать новую теорему; 3) план позволяет охватить все доказательство в целом, у учащихся возникает чувство полного понимания;

· учащихся учат составлять план уже изученной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно.

Раскрыть логическую структуру составного предложения, - значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие.