|
|
|
 |
Алгоритмы численного решения задач |
|
 |
БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Алгоритмы численного решения задач
Алгоритмы численного решения задач
9 Решить графоаналитическим методом. Задача 1max (X) = - 2x1 + x2 + 5x3при 4x1 + 2x2 + 5x3 126x1 - 3x2 + 4x3 = 183x1 + 3x2 - 2x3 16Х ? 0 Здесь число n = 3 и число m = 3.Выразим из ограничений и х3:? 0 Подставим его в целевую функциюmax (X) = Получим новые ограничения:х ? 0 Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2Вычисляем градиент : = = Рисунок 1Прямые a, c, d и e пересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max ц (Х), который удовлетворяет условию Х>=0:Это точка D (0,7; 4,7; 0).Функция ц (Х*) в точке D:ц (Х*) = 38,3Найти экстремумы методом множителей Лагранжа Задача 2extr ц (X) = 4x1 - x22 - 12при x12 + x22 = 25Составим функцию Лагранжа:L (X,л) = 4x1 - x22 - 12 + л (x12 + x22 - 25)h (X) = x12 + x22 - 25 = 0 - функция ограничения.Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.Решим данную систему уравнений:2x2 (л - 1) = 0Предположим, что x2 ? 0, тогда л = 1 подставим в первое уравнение системы.4 - 2x1 = 02x1 = - 4x1 = 2Подставим x1 в третье уравнение системы.4 +x22 - 25 = 0x22 - 21 = 0x22 = 21x2 = ±4,5826Параболоид вращения функции h (x).В двухмерной проекции график выглядит так:Рисунок 2.На рис.2 видно, что в точках А1 и А2 функция ц (X) = h (X). В этих точках функция ц (X) равна минимальному значению. |
(X*,л*) N | X1* | X2* | л* | ц (X*) | Примечание | | 1 | 2 | 4,5826 | 1 | -24,25 | Min | | 2 | 2 | -4,5826 | 1 | -24,25 | Min | | |
Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера. Задача 3extr ц (X) = 9 (x1 - 5) 2 + 4 (x2 - 6) 2 = при 3x1 + 2x2 >= 12x1 - x2 <= 6Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.Составим функцию Лагранжа.L (X,л) = + л1 (3x1 + 2x2 - 12) + л2 (x1 - x2 - 6) =Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.Решим систему уравнений.1) Предположим, что л2 ? 0, тогда из уравнения (d) получимx2 = х1 - 6Пусть л1 = 0 и x1 ? 0, тогда из уравнения (а) получим18x1 - 90 - л2 = 0, л2 = 18х1 - 90Пусть x2 ? 0, тогда из уравнения (b) получим8x2 - 48 - л2 = 0Подставив в уравнение выражения для x2 и л2, получимx1 = 4x2 = - 2x1* = 4; x2* = - 2; ц (Х) * = 265Трехмерный график целевой функции для данной задачиДвухмерная проекцияРисунок 3На рис.3 видно, что в точке А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции.В этой точке функция ц (X) равна максимальному значению.2) Предположим, что л2 = 0 и x2 ? 0, тогда из уравнения (b) получим8x2 - 48 + 2л1 = 0x2 = x2 = 6 - Предположим, что x1 ? 0, тогда из уравнения (а) выразим x1.18х1 - 90 + 3л1 = 018 = 90 - 3л1х1 = х1 = 5 - Подставим выражения для x1 и x2 в уравнение (с) системы.а) = 0, x1 = 5; x2 = 6б) = 15x1 = 2,5; x2 = 2,25Подставив корни x1 = 5; x2 = 6 в целевую функцию получим ц (Х) = 0, а корни x1 = 2,5; x2 = 2,25 - получим ц (Х) = 112,49Таким образом:x1* = 5; x2* = 6; ц* (Х) = 0На рис.4 видно, что в точке В функция ц (X) = a (X). В этой точке функция ц (X) равна минимальному значению. Рисунок 4|
X* N | X1* | X2* | ц (X*) | Примечание | | 1 | 5 | 6 | 0 | Min | | 2 | 4 | -2 | 265 | Max | | |
Получить выражение вектор-функции и матрицы Якоби системы и составить алгоритм численного решения задачи на основе условий Куна-Таккера. Задача 4max ц (X) = - x12 - x22 +2х2при x1 + x2 >= 18x1 + 2 x2 >= 14Х>=0 Найдем выражение вектор-функции системы.Составим функцию Лагранжа.L (X,л) = - x12 - x22 + 2х2 + л1 (x1 + x2 - 18) + л2 (x1 + 2x2 - 14)Вектор-функция системы:Составим матрицу Якоби.Составим алгоритм численного решения задачи:Рисунок 5.
|
|
 |
НОВОСТИ |
 |
|
| Изменения |
|
| Прошла модернизация движка, изменение дизайна и переезд на новый более качественный сервер |
|
