Решение:

1.Вершинное событие - отказ рассматриваемого фрагмента системы. Обозначим его через .

2. Обозначим события, заключающиеся в отказе элементов

соответственно: событие В1 - отказ элемента 1, событие В2 - отказ 2,…

В12 -отказ элемента 12. Выделим в схеме компоненты, отказ которых

непосредственно приводит к отказу системы. Такими компонентами

будут: подсистемы входных контуров, т.е. G1 = {l,6,11,16}и G2={5,10,15,20};

а также подсистемы:

G3= {1,6,17};

G4= {4,13,18};

G5= {5,9,20};

3. Заносим события на схему дерева отказов.

4. Составляем список А1={}.

События означают отказ соответствующих элементов.

5. Помещаем список А1 без события G1 в стек, а для G1 составляем свой список событий, приводящих к его появлению.

Таким списком будет список А2 = {В1,В6,В11,В16}.

Отказ компонента G1 наступает тогда и только тогда, когда откажут элементы 1, 6, 11,16 поэтому события списка А2 вызывают событие G1 в соответствии с логической операцией «И».

6. Заносим события на схему дерева.

7. Анализируем имеющийся список А2. Он полностью состоит из основных событий, поэтому нет надобности заносить его в стек.

8. Извлекаем из стека хранящийся там список А1. Выбираем из него событие G2. это событие промежуточное, следовательно, необходим его анализ. Возвращаем список А1 (но уже без события G2) в стек, а для G2 составляем список событий, которые вызывают это событие: А3 = {В5,В10, В15,В20}.

9. Аналогичным образом, продолжая анализ событий G3 …G5,

получим списки A4, А5,…,А6.

10. В результате выполнения всей процедуры получим дерево отказов системы, изображенное на рис. 4.

11. Составим ФАЛ (функцию алгебры логики) с помощью дерева отказов.

у(х)=х1х6х11х16х5х10х15х20х1х6х17х4х13х18х5х9х20.

12. Используя алгоритм разрезания, перейдем от функции алгебры логики к вероятностной функции, то есть от структурной функции к функции надежности.

На первом шаге разрежем функцию y(x) по переменной х1

у(х)=х1(х6х11х16 х5х10х15х20х6х17х4х13х18х5х9х20) х1,( х5х10х15х20 х4х13х18х5х9х20)

у(х)=х1*у1(х) х1,*у2(х)

у1(х)=х6 (х11х16 х5х10х15х20х17х4х13х18х5х9х20) х6,(х5х10х15х20х4х13х18х5х9х20)

у1(х)= х6*у11(х) х6,*у12(х)

у11(х)=х5(х11х16 х10х15х20х17х4х13х18х9х20) х5,(х11х16х17х4х13х18)

у11(х)= х5*у111(х) х5,*у110(х)

у111(х)=х20(х11х16 х10х15х17х4х13х18) х20, (х11х16х17х4х13х18)

у111(х)= х20*у1111(х) х20,*у1110(х)

у1111(х) и у1110(х), у110 - бесповторные функции

у11(х)= х5* (х20*у1111(х) х20,*у1110(х)) х5,* у110(х)

Разрежем функцию у12 по переменной х5

у12(х)= х5(х10х15х20х4х13х18х9х20) х5, (х4х13х18)

у12(х)= х5*у121 х5, *у120

у120(х)= х4х13х18

Разрежем функцию у121 по переменной х20

у121(х)=х20(х10х15х4х13х18х9) х20,( х4х13х18)

у121(х)=х20*у1210(х) х20,*у120

у12(х)= х5* (х20*у1210(х) х20,*у120) х5, *у120

у(х)=х1* (х6* (х5* (х20*у1111(х) х20,*у1110(х)) х5,* у110(х)) х6,* (х5*у121 х5, *у120)))х1,*( х5*у121 х5, *у120)

13. Гипотезами являются Н1=х1х6х5х20, Н2=х1х6х5х20,, Н3=х6,х5, Н4=х6,х5,,

Н5=х1,х5, Н6=х1,х5,.

14. Перейдем от функции алгебры логики к вероятностной функции, то есть от структурной функции y(x) к функции надежности

h(r):r5-r4+2r3+r2-2r

15. Так как система состоит из невосстанавливаемых элементов, то элементами функции надежности являются вероятности безотказной работы. В качестве математической модели надежности выберем экспоненциальную модель.

Функция распределения F (t) = Р(Т<t) определяет вероятность отказа за время длительностью t и называется функцией ненадежности.

На практике длительность времени безотказной работы элемента часто имеет показательное распределение с функцией распределения:

F (t) = 1-e-лt.

16. На основе исходных данных (интенсивностей отказов) составим таблицу значений вероятности безотказной работы таким образом, чтобы вероятность безотказной работы системы изменялась в диапазоне от 0,95 до 0,2 (табл.2).

Таблица 2. Значения вероятности безотказной работы.

17. По значениям таблицы 2 строим график зависимости вероятности от наработки

Рисунок 5 - Зависимость вероятности безотказной работы от времени.

18. В качестве исходных данных дан показатель - вероятность безотказной работы, которую требуется обеспечить. В нашем случае он составляет 92 %. Далее уточним значения вероятности безотказной работы.

Таблица 3. Уточненные значения вероятности безотказной работы.

По таблице определяем самые «слабые» элементы, которые имеют небольшие вероятности безотказной работы - это элементы с номерами 8, 10, 20.

19. Определяем наиболее критичные элементы.

Таблица 4 - Уровни критичности эелементов.

Самые значимые элементы. -10, 20, 1,16.

Это означает, что изменение вероятности безотказной работы данных элементов наиболее сильно влияет на надежность системы вцелом.

Причем, элементы 10 и 20 являются и наиболее слабыми, т.е. это и есть самые уязвимые места системы.

Заключение

В результате выполнения работы были выполнены следующие

задачи:

- определена структурная функция надежности методом дерева отказов у(х)=х1х6х11х16х5х10х15х20х1х6х17х4х13х18х5х9х20.;

- на основе структурной функции составлена функция надежности при помощи алгоритмов разрезания и ортогонализации: h(r):r5-r4+2r3+r2-2r;

- установлены наиболее критичные элементы.