Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний технологічний університет

Кафедра ТМ та КТС

Група ЗІМ 03-1т

Курсова робота

з інформатики

Хід виконання:

Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв'язку інтеграла є визначення відповідної площі.

Розіб'ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули

Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд

де cj = 1,2,2,2,….2,1.

Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою

Елементарна площа визначається інтегралом

Враховуючи, що

Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)

де cj = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.

У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.

Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.

Вихідні дані:

Реалізація у MS Excel:

Хід виконання:

1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ? 0,17

2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5 .

В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:

При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:

Чергове k-е наближення:

В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:

При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:

Для першого наближення:

Для подальших наближень:

Функція y=f(x) задана таблицею значень  у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.

Вихідні дані:

Хід виконання:

1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.

2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .

3. Будуємо гістограму залежності від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4. На одному графіку будуємо многочлени Pm, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.

Реалізація у MS Excel:

Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі у відповідних степенях та уі*хіj

За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:

Визначаємо обернені матриці Х-1 до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).

Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1 та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).

Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі.

Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані - точковий графік, розрахункові дані - лініями різного типу.

Визначаємо величину для кожного полінома та будуємо гістограму:

Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції

Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0, y0), вибираючи крок інтегрування h, де

y(xi+h)=y(xi)+h·y'(xi)

Розв'язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.

Вихідні дані:

Реалізація у MS Excel:

Графіки розрахованих даних: