Комбинаторные задачи

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Комбинаторные задачи

Комбинаторные задачи

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПУ

Реферат

Комбинаторные задачи

Исполнитель:

Студентка группы М-42 Макарченко А.Ю.

Научный руководитель: Долинский М.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

Генерация k-элементных подмножеств

Генерация всех подмножеств данного множества

Генерация всех перестановок n-элементного множества

Разбиения множества

Заключение

Литература

Введение

Задачи дискретной математики, к которым относится большинство олимпиадных задач по информатике, часто сводятся к перебору различных комбинаторных конфигураций объектов и выбору среди них наилучшего, с точки зрения условия той или иной задачи. Поэтому знание алгоритмов генерации наиболее распространенных комбинаторных конфигураций является необходимым условием успешного решения олимпиадных задач в целом. Важно также знать количество различных вариантов для каждого типа комбинаторных конфигураций, так как это позволяет реально оценить вычислительную трудоемкость выбранного алгоритма решения той или иной задачи на перебор вариантов и, соответственно, его приемлемость для решения рассматриваемой задачи, с учетом ее размерности. Кроме того, при решении задач полезным оказывается умение для каждой из комбинаторных конфигураций выполнять следующие операции: по имеющейся конфигурации получать следующую за ней в лексикографическом порядке; определять номер данной конфигурации в лексикографической нумерации всех конфигураций; и, наоборот, по порядковому номеру выписывать соответствующую ему конфигурацию.

const nmax = 24;

type list = array[1..nmax] of integer;var k,i,j,n,q : integer;a,p : list;procedure print(k : integer);

var i:integer;beginfor j:=1 to k dowrite(p[j]:4);writelnend;{print}

procedure cnk(n,k : integer);procedure gen(m,L : integer);var i:integer;beginif m=0 then print(k) elsefor i:=L to n-m+1 dobegin

p[k-m+1]:=a[i];

gen(m-1,i+1)

end

end;{gen}

begin {cnk}gen(k,1)end;{cnk}begin {main}readln(n,k);for i:=1 to n doa[i]:=i;{заполнить массив можно и по-другому}

cnk(n,k)

end.

Заметим, что собственно генерация сочетаний производится в рекурсивной подпрограмме gen. Она имеет следующие параметры: m - сколько элементов из множества нам еще осталось выбрать и L - начиная с какого элемента исходного множества, следует выбирать эти m элементов. Обратите внимание, что именно вложенная структура описания процедур cnk и gen позволяет не передавать при рекурсивных вызовах значения n и k, а из основной программы обращаться к процедуре cnk с параметрами, соответствующими постановке задачи, не вдаваясь в подробности ее решения. Такой способ будем применять и в дальнейшем.

Далее процедура дословно совпадает с предыдущей версией. В основной же программе единственное обращение к данной процедуре следует заменить следующим фрагментом:

k:=0;

flag:=false;

repeat

k:=k+1;

cnk(n,1,flag)

until flag or (k=n);

if flag then print(k)

else writeln('no solution');

Очевидно также, что в основной программе запрос значения переменной k теперь не производится.

Существует также альтернативный подход к перебору всех подмножеств того или иного множества. Каждое подмножество можно охарактеризовать, указав относительно каждого элемента исходного множества, принадлежит оно данному подмножеству или нет. Сделать это можно, поставив в соответствие каждому элементу множества 0 или 1. То есть каждому подмножеству соответствует n-значное число в двоичной системе счисления (строго говоря, так как числа могут начинаться с произвольного количества нулей, которые значащими цифрами не считаются, то следует заметить, что в соответствие ставятся n- или менее - значные числа). Отсюда следует, что полный перебор всех подмножеств данного множества соответствует перебору всех чисел в двоичной системе счисления. Теперь легко подсчитать и количество различных подмножеств данного множества. Оно равно 2n - 1 (или 2n, с учетом пустого множества). Таким образом, сопоставляя два способа перебора всех подмножеств данного множества, мы получили следующую формулу:

То есть, в рамках сделанной выше оценки на количество допустимых вариантов в переборе, мы можем рассмотреть все подмножества исходного множества только при n 20.

Прежде, чем перейти к рассмотрению программ, соответствующих второму способу перебора, укажем, когда применение этих программ целесообразно. Во-первых, данные программы легко использовать, когда необходимо в любом случае перебрать все подмножества данного множества (например, требуется найти все решения удовлетворяющие тому или иному условию). Во-вторых, когда с точки зрения условия задачи не имеет значения, сколько именно элементов должно входить в искомое подмножество. На примере такой задачи мы и напишем программу генерации всех подмножеств исходного множества в лексикографическом порядке. Задача взята из книги [5].

Условие. Дан целочисленный массив a[1..N] (N 20) и число M. Найти подмножество элементов массива a[i1], a[i2], ...a[ik] такое, что 1 i1 < i2 < i3 < ... < ik N и a[i1] + a[i2] + ... + a[ik] = M.

Решение. В качестве решения приведем процедуру генерации всех подмножеств, которые можно составить из элементов массива и функцию проверки конкретного подмножества на соответствие условию задачи.

function check(j:longint):boolean;

var k:integer; s:longint;

begin

s:=0;

for k:=1 to n do

if ((j shr (k-1))and 1)=1 {данное условие означает, что в

k-й справа позиции числа j, в 2-й системе, стоит 1}

then s:=s+a[k];

if s=m then

begin

for k:=1 to n do

if ((j shr (k-1))and 1)=1 then write(a[k]:4);

writeln

end

end;

procedure subsets(n:integer);

var q,j:longint;

begin

q:=1 shl n; {таким образом мы помещаем в q число 2^n}

for j:=1 to q-1 do {цикл по всем подмножествам}

if check(j) then exit

end;

Заметим, что если все элементы в массиве положительные, то, изменив порядок рассмотрения подмножеств, решение приведенной выше задачи можно сделать более эффективным. Так, если сумма элементов какого-либо подмножества уже больше, чем M, то рассматривать подмножества, включающие его в себя уже не имеет смысла. Пересчет же сумм можно оптимизировать, если каждое следующее сгенерированное подмножество будет отличаться от предыдущего не более, чем на один элемент (такой способ перечисления подмножеств показан в [2]). Приведенная же программа черезвычайно проста, но обладает одним недостатком: мы не можем ни в каком случае с ее помощью перебирать все подмножества множеств, состоящих из более, чем 30 элементов, что обусловлено максимальным числом битов, отводимых на представление целых чисел в Турбо Паскале (32 бита). Но, как уже было сказано выше, на самом деле, перебор всех подмножеств у множеств большей размерности вряд ли возможен за время, отведенное для решения той или иной задачи.

{описание переменных совпадает с приведенным выше}

procedure Permutations(n:integer);

procedure Perm(i:integer);

var j,k:integer;

begin

if i=n then

begin for j:=1 to n do write(a[p[j]],' '); writeln end

else

begin

for j:=i+1 to n do

begin

Perm(i+1);

k:=p[i]; p[i]:=p[j]; p[j]:=k

end;

Perm(i+1);

{циклический сдвиг элементов i..n влево}

k:=p[i];

for j:=i to n-1 do p[j]:=p[j+1];

p[n]:=k

end

end;{Perm}

begin {Permutations}

Perm(1)

end;

begin {Main}

readln(n);

for i:=1 to n do p[i]:=i;

a:=p; {массив a может быть заполнен произвольно}

Permutations(n)

end.

Заметим, что в данной программе массив p можно было и не использовать, а переставлять непосредственно элементы массива a.

Число разбиений n-элементного множества на k блоков произвольного размера, но таких, что каждый элемент множества оказывается “приписан” к одному из блоков, выражается числом Стирлинга второго рода S(n,k) [6,7]. Очевидно, что S(n,k) = 0 для k > n. Если согласиться, что существует только один способ разбиения пустого множества на нулевое число непустых частей, то S(0,0) = 1 (именно такая договоренность, как и в случае с факториалом, приводит в дальнейшем к универсальным формулам). Так как при разбиении непустого множества нужна, по крайней мере, одна часть, S(n,0) = 0 при n > 0. Отдельно интересно также рассмотреть случай k = 2. Если непустое множество разделили на две непустые части, то в первой части может оказаться любое подмножество исходного множества, за исключением подмножеств, включающих в себя последний элемент множества, а оставшиеся элементы автоматически попадают во вторую часть. Такие подмножества можно выбрать 2n-1 - 1 способами, что и соответствует S(n,2) при n > 0.

Для произвольного k можно рассуждать так. Последний элемент либо будет представлять из себя отдельный блок в разбиении и тогда оставшиеся элементы можно разбить уже на k - 1 частей S(n - 1,k - 1) способами, либо помещаем его в непустой блок. В последнем случае имеется kS(n - 1,k) возможных вариантов, поскольку последний элемент мы можем добавлять в каждый блок разбиения первых n - 1 элементов на k частей. Таким образом

S(n,k) = S(n - 1, k - 1) + kS(n - 1, k), n > 0. (5)

Полезными могут оказаться также формулы, связывающие числа Стирлинга с биномиальными коэффициентами, определяющими число сочетаний:

Если же значение k теперь не фиксировать и рассмотреть все разбиения n-элементного множества, то их количество выражается числом Белла

По формулам (7) можно подсчитать, что в рамках принятых выше допущений можно построить все разбиения множества, состоящего не более чем из 15 элементов (B15=1382958545).

Перейдем теперь к рассмотрению способа генерации всех разбиений исходного множества. Прежде всего, следует договориться о том, как обозначать текущее разбиение. Так как в каждом из разбиений участвуют все элементы исходного множества, будем в массиве индексов p записывать в какой блок попадает каждый из элементов в текущем разбиении. Параметр i в рекурсивной процедуре part означает, что на текущем шаге мы именно i-ый элемент будет размещать в каждом из допустимых для него блоков, а j как раз и определяет максимальный номер допустимого блока. После того, как i-ый элемент помещен в один из блоков, рекурсивно решается такая же задача уже для следующего элемента (в данном случае фактически работает универсальная схема перебора с возвратом [8]).

procedure partition(n : integer; var p:list);

procedure part(i, j: integer);

var l: integer;

begin

if i > n then print(n, p) else

for l := 1 to j do

begin

p[i] := l;

if l = j then part(i+1, j+1)

else part(i+1, j)

end

end; {part}

begin {partition}

part(1,1)

end;

Как ни странно, в данном случае процедура print оказывается совсем не тривиальной, если требуется печатать (или анализировать) элементы каждого из блоков разбиения в отдельности. Поэтому приведем возможный вариант ее реализации (как и ранее, распределяли по блокам мы индексы, а печатаем или анализуруем сами элементы исходного массива a):

procedure print(n:integer; var p:list);

var i,j,imax:integer;

begin

imax:=1;{определяем количество блоков в разбиении}

for i:=2 to n do

if p[i]>imax then imax:=p[i];

for i:=1 to imax do {цикл по блокам}

begin

for j:=1 to n do

if p[j]=i then write(a[j]:4);

write(' |') {блок напечатан}

end;

writeln {разбиение напечатано}

end;

Вложенного цикла можно избежать, если требуется, например, подсчитать сумму элементов в каждом из блоков. Тогда, используя дополнительный массив, мы, просматривая элементы массива a последовательно, будем увеличивать значения суммы для блока, соответствующего рассматриваемому элементу (аналогично операции, осуществляемой в алгоритме сортировки подсчетом).

Если при этом рассматривать массив p как n-значное число n-ричной системе счисления, то можно ввести понятие лексикографического порядка для разбиений множества и ставить задачи определения номера разбиения и обратную ей. Как и ранее (см. [1-3]), они решаются методом динамического программирования и не используют непосредственную генерацию всех разбиений.

Для полноты рассмотрения данной темы самостоятельно измените процедуру partition так, чтобы она генерировала все разбиения, состоящие не более чем из k блоков. После этого напишите процедуру разбиения множества уже на ровно k непустых частей.

Большинство указанных конфигураций были подробно рассмотрены в [1-3]. Однако при генерации различных конфигураций использовались в основном нерекурсивные алгоритмы. Опытные же участники олимпиад в подобных случаях при программировании используют в основном именно рекурсию, с помощью которой решение рассматриваемых задач зачастую можно записать более кратко и прозрачно. Поэтому для полноты изложения данной темы приведем ряд рекурсивных комбинаторных алгоритмов и рассмотрим особенности применения рекурсии в комбинаторике.

Литература

Окулов С.М. Перестановки. “Информатика”, №7, 2000.

Окулов С.M. Комбинаторные задачи. “Информатика”, №10, 13, 2000.

Усов Б.Б. Комбинаторные задачи. “Информатика”, №39, 2000.

Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы. Построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000.

Брудно A.Л., Каплан Л.И. Московские олимпиады по программированию. М.: Наука, 1990.

Кнут Д. Конкретная математика. Основание информатики. М.: “Мир”, 1998.

Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: “Мир”, 1988.

Андреева Е.В. Еще раз о задачах на полный перебор вариантов. “Информатика”, №45, 2000.