Математичне моделювання реле постійного струму

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Математичне моделювання реле постійного струму

Математичне моделювання реле постійного струму

Вступ

Математична модель (ММ) -- сукупність математичних об'єктів (чисел, символів, множин і т. д.) і зв'язків між ними, що відображають найважливіші для проектувальника властивості проектованого технічного об'єкту.

Моделювання більшості технічних об'єктів можна виконувати і мета рівнях, що розрізняються ступенем деталізації розгляду процесів в об'єкті.

Математичною моделлю технічного об'єкту на мікро рівні є система диференціальних рівнянь в часткових похідних, що описує процеси в суцільному середовищі із заданими граничними умовами. Система рівнянь, як правило, відома (рівняння Ламі для механіки пружних середовищ; рівняння Нав'є -- Стокса для гідравліки; рівняння теплопровідності для термодинаміки і т. д.), але точне рішення її вдається одержати лише для окремих випадків, тому перша задача, що виникає при моделюванні, полягає в побудові наближеної дискретної моделі. Для цього використовуються методи кінцевих різниць і інтегральних граничних рівнянь, одним з варіантів яких є метод граничних елементів. Оскільки одержувана при дискретизації простору апроксимуюча система рівнянь алгебри має високий порядок, то при моделюванні достатньо складних технічних об'єктів доводиться приймати ряд допущень і спрощень і переходити до моделювання на макрорівні.

Математичною моделлю технічного об'єкту на макрорівні є система ОДУ із заданими початковими умовами. В основі ММ лежать компонентні рівняння окремих елементів і топологічні рівняння, вид яких визначається зв'язками між елементами. Передумовою створення єдиного математичного і програмного забезпечення аналізу на макрорівні є аналогії компонентних і топологічних рівнянь фізично однорідних підсистем, з яких складається технічний об'єкт. Для отримання топологічних рівнянь використовуються формальні методи. Основними методами отримання ММ об'єктів на макрорівні є наступні методи: узагальнений, табличний, вузловий і змінних полягання. Методи відрізняються один від одного виглядом і розмірністю одержуваної системи рівнянь, способом дискретизації компонентних рівнянь реактивних гілок, допустимими типами залежних гілок. Для складних технічних об'єктів розмірність ММ стає надмірно високою і для моделювання доводиться переходити на мета рівень.

На мета рівні моделюють в основному дві категорії технічних об'єктів: об'єкти, що є предметом досліджень теорії автоматичного управління, і об'єкти, що є предметом теорії масового обслуговування. Для першої категорії об'єктів можливе використовування математичного апарату макрорівня, для другої категорії об'єктів використовують методи подієвого моделювання.

1. Коротка характеристика реле

За конструкцією електромагнітні реле поділяються на реле клапанного типу і на реле соленоїдного типу (реле плунжерного типу). Реле клапанного типу в свою чергу діляться на реле з поздовжнім (перпендикулярним до поверхні полюса) та поперечним (відповідно паралельним) ходом якоря. В реле соленоїдного типу якір втягується в середину котушки.

В конструкції всіх електромагнітних реле використовуються характерні властивості феромагнітних матеріалів.

Речовини, які можуть намагнічуватись в зовнішньому магнітному полі і тим самим змінювати його, дістали назву магнетиків. Магнетики поділяються на три основних класи: діамагнетики, парамагнетики і феромагнетики. Кожний з магнетиків своєрідно впливає на зовнішнє поле. Діамагнетики послаблюють зовнішнє магнітне поле своїми невидимими магнітними моментами. Діамагнетики виштовхуються з магнітного поля, а парамагнетики і феромагнетики притягуються в магнітному полі. Феромагнетики притягуються магнітними полями з силою, набагато більшою чим парамагнетики. Феромагнетики перетворюються в парамагнетики при двох умовах:

- в сильному магнітному полі,

- при нагріванні до температури, яка визначена К'юрі і називається точкою К'юрі.

На рисунку 1.1 показана конструкція клапанного реле з поздовжнім ходом якоря. Дане реле складається з: 1 - якір (рухома частина реле), 2 - основа, 3 - полюси реле, які можуть закінчуватися полюсними наконечника- ми, 4 - котушка, 5 - полюси наконечника , 6 - пружина, 7 - рухомий контакт, 8 - нерухомі контакти, 9 - кон-тактна пружина, 10 - стопор.

В реле, під дією струму, виникає магнітне поле, яке можна поділити на три складові: - основний потік, що проходить по магнітопроводу і через повітряні проміжки між якорем та поверхнями полюса, та якір (див. рис. 1.1);

- потік розсіювання, що ділиться на дві складові:

а) магнітний потік розсіювання Фр1 (див. рис. 1.1), що проходить через основу, частину полюса, бокові поверхні між полюсами і частину 2-го полюса, тобто ці потоки існують між поверхнями полюсів і не замикаються через якір,

б) магнітний потік розсіювання Фр2 (див. рис.1.1) проходить через магніто- провід тільки одного полюса і повітряний проміжок за об'ємом реле.

В відсотковому співвідношенні до всього потоку дані потоки відповідно складають: Фб=90%, Фр1=9%, Фр2=1%. Рисуємо магнітну схему, яка зображена на рисунку 1.3

Вибір n суттєво впливає на результат розрахунку. Чим більше n, тим точнішим буде результат. Щоб перевірити похибку при виборі n, потрібно зробити розрахунок при n удвічі більшим і порівняти результати з результатами при меншому n. Якщо точність нас задовільняє (попередньо точністю задаємося), то ми приймаємо результат при більшому значенні n за правильний. Якщо точність нас не задовільняє, то ми знову у два рази збільшуємо n. Так робимо до тих пір, поки не отримаємо заданої точності розрахунку.

У ній є нелінійний опір якоря . Дальше йдуть опори магнітних потоків R1 і R2. В даному випадку вони рівні. Весь потік розсіювання, який проходить по першій ділянці замінимо зосередженим опором розсіювання RS1 . Ті опори, що проходять по поверхні є постійними, а ті що по сталі-нелінійними. Далі йде магнітний опір першої ділянки - він є нелінійним. З однієї сторони схеми позначимо його М1, а з другої - М1'. Далі маємо ампервитки першої ділянки іw1. Аналогічно позначаємо інші ділянки. В результаті маємо 9 невідомих потоків.

Перенесення опорів робиться з метою зменшення рівнянь. Таким чином, у даній схемі є 4 вузли і тепер у нас є лише 7 невідомих. Буквою Б позначимо базовий вузол. На рисунку 2.2 зображено граф.

Рисунок 2.2 - Граф реле постійного струму

Спочатку цифрами 1,2,3 пронумеруємо вітки дерева (суцільні лінії), а 4,5,6,7- хорди (пунктири). Кількість віток рівна кількості ділянок у заступній схемі. Кількість рівнянь за першим і другим законом Кірхофа 2n+1. Фундаментальні контури позначимо І,ІІ,ІІІ,IV.

Фундаментальний контур - це контур, в який входить одна і лише одна хорда графа і котра співпадає за напрямком з хордою графа. За умовою задачі нам відома конструкція реле (геометричні розміри),струм в обмотці, а також крива намагнічення.

Отримується результат (наприклад, при к=3 q=4): 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 1 -1

Для другої матриці інциденцій:

Отримується результат (наприклад, при к=3 q=4): -1 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Складаємо систему рівнянь згідно з законами Кірхгофа (для вузлів А,В,С і контурів І..ІV див. граф):

Ф1+Ф4 - Ф5=0

Ф2+Ф5 - Ф6=0

Ф3+Ф6 - Ф7=0

Uя(Ф4)+(Rб1+ Rб2) Ф4- Rs1 Ф1=0 (4.1)

Rs1Ф1- Rs2 Ф2+ U5(Ф5) - i1=0

Rs2 Ф2- Rs3 Ф3+ U6(Ф6) - i2=0

Rs3 Ф3 + U7(Ф2) + U0(Ф7) - i3=0

В (1.1) невідомими є потоки Ф і залежності Uя(Ф4), U5(Ф5), U6(Ф6), U7(Ф7).

Для розвмязання цієї системи рівнянь скористаємося методом Ньютона.

Складаємо матрицю Якобі та розв?язуємо рівняння у матричній формі:

де

V= R1+ R2+ Rя ; V'= R7 +Rо;

Rя=Uя/ Ф4=с1+3 с2 Ф24.

Дуже часто нам необхідно шукати часткову похідну потокощеплення по повітряному проміжку.

Тому,

/=w/3(Ф5/+Ф6/+7/)= w/3(Ф5+Ф6+Ф7)

З них потрібно вибрати тільки ті потоки, які проходять через вишки. Продиференціюємо систему рівнянь по :

Ф1+Ф4 - Ф5=0

Ф2+Ф5 - Ф6=0

Ф3+Ф6 - Ф7=0

Rя (Ф4) Ф4+(R1+ R2)/ Ф4 +(R1+ R2) Ф4=0

Rs1 Ф1- Rs2 Ф2+ R5 Ф5=0

Rs2 Ф2- Rs3 Ф3+ R6 Ф6=0

Rs3 Ф3- (R7+ Ro)Ф7=0

Нам необхідно знайти один раз матрицю Якобі, щоб знайти обернену.

V= - (R1+ R2)/ Ф4

Включення клапанного реле постійного струму

U= Ri+d/dt - закон Фарадея

=mяdv/dt - другий закон Кірхгофа

v = d/dt

Отримаємо систему нелінійних (диференційних) рівнянь. Їх не можна розв'язувати без початкових умов І роду при t = 0.

Задамося початковими умовами

t = 0, і = 0, v = 0, = max.

Потокощеплення є функцією від струму і повітряного проміжку

( і, ).

Суму сил, що діють на якір розписуємо як

F = Fя - Fпр.осн. - Fпр.конт.= Fя (Ф) - Fпр.осн. ()- Fпр.конт.( конт.) конт. = f()

F = Fя - Fконт.

Fконт.

Перш, ніж зробити розрахунок реле нам потрібно знати залежність Fконт. (). Враховуючи початкові умови, отримаємо рівняння:

U = R i + /i i/t + / d/dt = R i + L(i) dv/dt + K v

Fя - F=mя dv/dt = Fя(Фя) - F()= mя dv/dt; v=d/dt

Запишемо 2 умови:

(Fя - F) 0 0 max.

Якщо ці умови не задовільняють, то якір не рухаєтся(v=0,dv/dt=o) До тих пір, поки сила притягання якоря буде меншою за силу пружини, якір не буде рухатися.

Не розбиваючи полюси на ділянки (але в реальності це треба робити), розібємо полюсний наконечник на один контур. Нарисуємо заступну схему.

Розв'яжемо систему диференційних рівнянь.

Ri+ d/dt - U=0 Фя- Фпруж.1= mя dv/dt , v = dv/dt

Uкз.в=Гк.з.вит i1dк.з.в/dt

Умова при t=0; і=0; ік.в=0; Ф=0 - умова Коші І-го роду.

Нам потрібно розписати систему рівнянь.

=wФ3; знайдемо похідну потокощеплення

d/dt =wdФ3/dt;

d/dі dі/dt= d/dt=L(i) dі/dt

Потокощеплення залежить від i та від

d/dt=/t і/t +/ /t = dі/dt +Kv

d/di= dwФ3/dі= wФi

Диференціюємо по і по струму.

dк.в./dt=/t dі/dt +/ d/dt; Uк.в=0

Система рівнянь, яку ми розглядаяємо, написана в неявній формі. Це означає, що вона не розвязується відносно похідних. Тому до неї не можна застосувати відомі методи розвязку дифрівнянь (Ейлера, Рунге-Кутта). Один з відомих методів, який не вимагає приведення рівнянь до нормального виду - метод диференціювання назад. Приведемо дане рівняння до нормального виду.

dі/dt =(U - Ri - Kv)/ L(i)

dv/dt = (Fя - Fпр)/m

d/dt = v

dі1/dt =( - Rк.вi - K1v)/ L к.в(i)

Запишемо для даної системи дифрівнянь початкові умови І-го роду.

t = 0, і = 0, v = 0, = max.

Якщо знехтувати петлею гістерезису, то вектор магнітних потоків буде рівним 0. =0.

7. Програма розрахунку

unit students;

interface

uses Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Math, TeeProcs, TeEngine, Chart, Series, jpeg;

type TMainForm = class(TForm) Current: TLabeledEdit;

Delta: TLabeledEdit;

W: TLabeledEdit; Distance: TLabeledEdit;

MagnethicWidth: TLabeledEdit;

MagnethicHeight: TLabeledEdit;

MagnethicThickness: TLabeledEdit;

Parts: TLabeledEdit; Eps: TLabeledEdit;

CoreThickness: TLabeledEdit;

Size1: TLabel; Size2: TLabel; Start: TButton;

Test1: TLabel; Test2: TLabel; Next: TButton;

Exit: TButton; ReleImage: TImage;

Test3: TLabel; procedure StartClick(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure NextClick(Sender: TObject);

procedure ExitClick(Sender: TObject);

private { Private declarations } public { Public declarations } end;

type

mas=array[1..50] of real;

intmas=array[1..50] of integer;

mas2d=array [1..50,1..50] of real;

var MainForm: TMainForm;

Mu0,del,delManual,l,H,Sh,S1,S2,T,Rs,Rd,RCore,W1,Wk,i1,d,Sum,F1,E,TCore,FpCore:real; k,i,j,nEq,nParts:integer;

F,B: mas; Rdyn: mas; M: mas2d;

implementation

{$R *.dfm}

// Допоміжні процедури

// Процедура формування матриці Якобі

procedure JakobyCreation;

var i,j: integer; begin // Обнулення матриці Якобі for i:=1 to nEq do for j:=1 to nEq do M[i,j]:=0; for i:=1 to nParts do begin M[i,i]:=1;

M[i,i+nParts]:=1;

M[i,i+nParts+1]:=-1; M[i+nParts,i]:=-Rs; M[i+nParts+1,i]:=Rs; end; for i:=nParts+1 to nEq do M[i,i]:=Rdyn[i-nParts]; end;

// Процедура обернення матриці Якобі

procedure MatrixRotation; var i,j,k: integer; y,w: real;

z: intmas; b,c: mas; begin d:=1; for j:=1 to nEq do z[j]:=j; for i:=1 to nEq do begin k:=i; y:=M[i,i]; for j:=i+1 to nEq do begin w:=M[i,j];

if abs(w)>abs(y) then begin k:=j;

y:=w; end;

end; d:=y*d;

if abs(y)<0.01 then begin ShowMessage('Матриця Якобі є виродженою');

halt end; for j:=1 to nEq do begin c[j]:=M[j,k];

M[j,k]:=M[j,i];

M[j,i]:=-c[j]/y;

M[i,j]:=M[i,j]/y;

b[j]:=M[i,j]; end;

M[i,i]:=1/y; j:=z[i];

z[i]:=z[k]; z[k]:=j;

for k:=1 to nEq do if k<>i then for j:=1 to nEq do if j<>i then M[k,j]:=M[k,j]-b[j]*c[k];

end; for i:=1 to nEq do begin k:=z[i];

if k<>i then begin for j:=1 to nEq do begin w:=M[i,j];

M[i,j]:=M[k,j];

M[k,j]:=w end;

j:=z[i];

z[i]:=z[k]; z[k]:=j;

d:=-d end;

end;

end;// Процедура обчислення нев'язок