Нахождение оптимального плана производства продукции с использованием пакетов прикладных программ Math Cad

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Нахождение оптимального плана производства продукции с использованием пакетов прикладных программ Math Cad

Нахождение оптимального плана производства продукции с использованием пакетов прикладных программ Math Cad

22

Глава 2. Ознакомительный курс исследования операций

Введение

Линейное программирование

Динамическое программирование

Глава 3.Практическое обоснование теории

Список использованной литературы

ГЛАВА I. ЗАДАНИЕ

Цель курсовой работы

ЦЕЛЬ - научиться:

самостоятельно разрабатывать математические модели задач по определению оптимальных планов производства продукции для предприятий и фирм;

решать полученные математические задачи на ЭВМ с использованием пакетов прикладных программ для решения задач линейного программирования;

давать послеоптимизационную оценку и экономическую интерпретацию полученного решения.

1.2 Исходные данные

Задача: ОАО «Красногорсклексредства» является ежемесячным поставщиком следующих лекарственных сборов аптеке «Эскулап»:

«Грудной сбор №4»

«Желчегонный сбор №3»

«Элекасол» (противомикробный препарат)

Предполагается, что предприятие имеет 560 000 тысяч рублей на развитие производства в течение пяти лет. В первоначальный момент предприятие располагает ресурсами:

b1 - цветки ромашки аптечной

b2 - цветки календулы

b3 - листья мяты перечной

b4 -листья эвкалипта

Цены на используемые ресурсы меняются в течение пяти лет :

- стоимость i- того ресурса k-того года, k=1,..,5

Пусть х1- количество единиц первой продукции

х2- количество единиц второй продукции

х3- количество единиц третьей продукции. Прибыль от реализации единицы продукции каждого вида равна :

Математическая модель деятельности предприятия:

При следующей системе ограничений:

При чем:

Распределение денежных средств на пять лет (в рублях): 80 000, 100 000, 110 000, 120 000, 150 000.

ГЛАВА 2. ОЗНАКОМИТЕЛЬНЫЙ КУРС ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

В мире деятельность практически всегда не просто осознанная, а целенаправленная, какая-то работа совершается ради достижения определенной цели. Конечно, практически всегда ресурсы, необходимые для выполнения данной работы, ограничены. Достаточно часто существует несколько возможностей распорядится ресурсами, и хотелось бы сделать это каком-то смысле «получше». Исследование операций как раз и занимается этим кругом вопросом: цель работы - ограниченность необходимых ресурсов - поиск вариантов возможных решений - определение способа действий. Цель - это желаемый результат деятельности.

2. Любое неравенство можно представить в виде равенства путем введения дополнительной отрицательной переменной.

3. Переменную, не ограниченную условием неотрицательности можно заменить разностью двух неотрицательных переменных:

4. Любое равенство можно представить как систему двух неравенств:

Геометрическая интерпретация задач ЛП

Любое неравенство определяет полупространство. Система неравенств определяет пересечение многих пространств. В результате с учетом условий неотрицательности переменных область допустимых решений - ОДР представляет собой многогранник. Любая точка многогранника является допустимым решением ЗЛП. Линейная целевая функция достигает экстремума на выпуклом множестве (многограннике) только на границе. Любые переменные плоскости целевой функции, параллельно самой себе, есть лишь изменение значений целевой функции. Два крайних положения этой плоскости в ОДР являются точками экстремума.

Алгоритм симплекс-метода

Симплекс - простейший многогранник. Метод состоит из двух основных этапов:

1. Нахождение допустимого решения.

2. Нахождение оптимального решения среди допустимых решений.

Решение симплекс-методом сопровождается так называемой симплекс-таблицой. На основе анализа таких таблиц определяется необходимость улучшения решения или отсутствие решения или нахождение оптимального решения.

Первым делом необходимо получить каноническую задачу. Преобразование общей и стандартной ЗЛП производится на основе свойств эквивалентности этих задач. При этом неравенство преобразуется в равенство путем введения дополнительной неотрицательной переменной. В результате система ограничений будет записана в виде системы линейных уравнений, где количество неизвестных больше, чем количество уравнений.

В канонической задаче по количеству ограничений равенств выделяются базисные переменные. Остальные переменные называются свободными. В системе уравнений все члены со свободными переменными переносятся вправо и разрешаются.

На основании полученных выражений для базисных переменных из целевой функции исключаются все базисные переменные. Составляется симплекс- таблица по следующим правилам:

1. Первый столбец включает базисные переменные.

2. Составляется второй столбец из свободных членов.

3. Последующие столбцы составляются из коэффициентов при свободных переменных с противоположными знаками.

4. Последней строкой этой таблицы является строка целевой функции.

Базисное решение - это решение системы линейных уравнений относительно базисных переменных, когда свободные переменные равны нулю. Все базисные переменные равны свободным членам в первой симплекс-таблице.

Признак допустимости базисных решений

базисное решение допустимое, если оно неотрицательное;

базисное решение допустимое, если в столбце свободных членов нет ни одного отрицательного элемента (кроме строки целевой функции).

Признак несовместимости ограничений

Ограничения несовместны, если в каждой строке, имеющей отрицательный свободный член, нет ни одного отрицательного элемента( Этот признак используется, если решение недопустимое).

Признак оптимальности

Если в строке целевой функции все элементы одного знака (кроме свободного члена), то целевая функция принимает экстремальное значение, при чем, если все элементы положительны, то - max, если отрицательны - min.

1. В новой таблице меняются местами по разрешающему элементу свободные и базисные переменные:

2.Ячейка разрешающего элемента заполняется обратным знаком:

3. Разрешающая строка делится на разрешающий элемент:

4. Элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент с противоположным знаком:

5. Из остальных ячеек вычисляется произведение элементов, стоящего на соответствующем разрешающем столбце и соответствующей разрешающей строке, деленные на разрешающий элемент:

Динамическое программирование

Динамическое программирование используется для исследования многоэтапных процессов. Состояние управляемой системы характеризуется определенным набором параметров (фазовыми координатами). Процесс перемещения в фазовом пространстве разделяют на ряд последовательных этапов и производят последовательную оптимизацию каждого из них, начиная с последнего. На каждом этапе находят условное оптимальное управление при всевозможных предположениях о результатах предыдущего шага. Когда процесс доходит до исходного состояния, снова проходят все этапы, но уже из множества условных оптимальных управлений выбирается одно наилучшее. Получается, что однократное решение сложной задачи заменяется многократным решением простой. Важно, что значения критерия - сумма частных значений, достигнутых на отдельных шагах, и предыстория не имеют значения при определении будущих действий .

Особенности методов и моделей динамического программирования

1. Принятие оптимального решения рассматривается как процесс многоэтапный.

2. Показатель эффективности всего процесса управления является аддитивной функцией показателей эффективности каждого шага.

3. Выбор управления на k-том шаге зависит только от состояния системы к этому шагу и не влияет на предшествующие шаги.

4. Состояние Sk зависит только от состояния предшествующего шага и управления xk.

5. На каждом шаге управление зависит от конечного числа переменных, а состояние системы от конечного числа параметров.

Принцип оптимальности Беллмана

Свойства динамического программирования являются следствием общего принципа, сформулированного Р. Беллманом и называемого принципом оптимальности: оптимальная политика обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальные состояния и первоначальные решения, последующие решения должны основывать оптимальную политику относительно состояния, полученного в результате полученного решения.

Знание принципа оптимальности полезно уже хотя бы потому, что формирует правильную профессиональную психологию. Но, конечно, не только поэтому: решение многих задач базируется на нем.

Формулы Беллмана для динамического программирования

ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ

Линейное программирование с использованием пакета прикладных программ Math Cad.

Нахождение оптимального плана производства в первый год осуществляется с помощью прикладной программы Math Cad.

Во второй год:

В третий год:

В четвертый год:

В пятый год оптимальный план производства:

Динамическое программирование с помощью программы Microsoft Excel

Получается, что денежные средства распределяются только на один год, так как показатель эффективности увеличивается с каждым годом. Значит, инвестиции следует вложить в пятый год.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.М.Трояновский. Математическое моделирование в менеджменте, уч. пособие. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство РДЛ. 2002. - 256 с.

2. Теоретические лекции под руководством Смирнова Ю.Н.

3. Методические пособия.

4. Пакеты прикладных программ Math Cad, Microsoft Excel, Microsoft Word.