Разработка программного модуля для вычисления интеграла

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Разработка программного модуля для вычисления интеграла

Разработка программного модуля для вычисления интеграла

Содержание

Введение

Постановка задачи

Проектирование программного модуля

Тестирование программного модуля

Заключение

Список использованных источников

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)? 0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x0<x1<x2<...<xk-1<xk<...<xn=b и с помощью прямых х=хk построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(xk-1) и f(xk) - соответственно основания трапеций; xk - xk-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции соответствующей первым двум отрезкам [x0x1] и [x1x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x) заменим площадью криволинейной трапеции которая ограничена параболой второй степени проходящей через три точки M(x0y0) M1(x1y1) M2(x2y2) и имеющей ось параллельную оси Oy. Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью параллельной оси Oy имеет вид

Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.

Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.

Лемма: Если криволинейная трапеция ограничена параболой

осью Ох и двумя ординатами расстояние между которыми равно 2h то ее площадь равна

(1)

где y0 и y2 - крайние ординаты а y1 - ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство: Расположим вспомогательную систему координат так как показано на рисунке

Коэффициенты в уравнении параболы определяются из следующих уравнений:

Если то

Если то (2)

Если то

Считая коэффициенты ABC известными определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла:

Но из равенства (2) следует что

.

Следовательно

что и требовалось доказать.

Вернемся снова к основной нашей задаче (см. рис). Пользуемся формулой (1) мы можем написать следующие приближенные равенства():

Складывая левые и правые части получим слева искомый интеграл справа его приближенное значение:

или (3)

В конечном итоге мы получили формулу Симпсона. Здесь число точек деления 2m произвольно но чем больше это число тем точнее сумма в правой части равенства (3) дает значение интеграла.

1.2 Входные данные

В данном программном модуле входных данных нет. Все необходимые данные изначально заложены в программу.