Решение дифференциальных уравнений. Обзор

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Решение дифференциальных уравнений. Обзор

Решение дифференциальных уравнений. Обзор

Нижегородский государственный технический университет

Павловский филиал

Кафедра «Общеобразовательные и общепрофессиональные дисциплины»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике

на тему:

«Решение дифференциальных уравнений. Обзор»

Выполнила: Аверина Л.А

Группа. ТМв 151001-09

Проверила: Ловыгина М.Б

Павлово 2010г.

Оглавление

Введение

1 Обзор методов решения в Excel

1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

1.2 Задача Коши

1.3 Метод Эйлера

1.4 Модифицированный метод Эйлера

1.5 Практическая часть

2 Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad

2.1 Метод Эйлера

2.2 Метод Эйлера с шагом h/2

2.3 Метод Рунге - Кутты

Заключение

Список литературы

1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка y' = F(x,y) (1) является метод четвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:

yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4 )/6, (2)

где

k1 = Fk h = F(xk , yk )h

k2 = F(xk +h/2, yk +k1 /2)h

k3 = F(xk +h/2, yk +k2 /2)h

k4 = F(xk +h, yk +k3 )h,

k = 0, ..., n-1

h = (xf -x0 )/n (3)

1.2 Задача Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:

, (4)

Разобьём промежуток [a,b] на N частей . Обозначим , где u(x) -точное решение задачи Коши, и через значения приближенного решения в точках . Существует 2 типа численных схем :

1. явные: ) (5)

2. неявные: (6)

Здесь F некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемах приближенное значение в точке определяется через некоторое число k уже определённых приближенных значений. В неявных схемах определяется не рекурентным способом, как в явных схемах, а для его определения возникает уравнение, поскольку равенство (6) представляет из себя именно уравнение на . Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее

1.3 Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что

уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0. (7)

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (7) с начальным условием

x=x0, y(x0)=y0 (8)

Требуется найти решение уравнения (7) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (7), которая проходит через точку Мi. Если правая часть уравнения (7) в некотором прямоугольнике Rbудовлетворяет условиям:

|f(x, y1)- f(x, y2)| N|y1-y2| (N=const), (9)

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn)-yn| hM/2N[(1+hN)n-1], (10)

где у(хn)-значение точного решения уравнения (7) при х=хn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

|yn-y(xn)||yn*-yn|. (11)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

1.4 Модифицированный метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) y/=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде

Получаем точку Мк(хк,ук). Через Мк проводим касательную:

у=ук=f(xk,yk)(x-xk)

Делим отрезок (хк,хк1) пополам

xNk/=xk+h/2=xk+1/2 (12)

yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:

y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=?k (13)

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом ?к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:

ук+1=ук+?кh

xk+1=xk+h

?k=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2) (14)

yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h (14)

(14)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk), (15)

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена

y/=z (16)

z/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия

y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0 (17)

1.5 Практическая часть

Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x2 на интервале [0,2], начальное значение y(0)=0, для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x2. Оценка погрешности делается в нормеL1, как и принято в данном случае

Рисунок 2

2.1 Метод Эйлера

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. В приложениях крайне редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.

Численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши

y' = f(x, y), y(a) =y0

состоит в построении таблицы приближенных значений

y0, y1, ..., yi, ... yN

решения y(x) в узлах сетки

a=x0 < x1 < ... < xi < ...< xN=b, y(xi)@ yi.

Если xi = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x0 + h используется информация о решении только в точкеx0.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле

yi+1 = yi + h f(xi , yi), i = 0, 1

Найдем методом Эйлера на [0, 1] с шагом h=0.2 приближенное решение задачи Коши

Для того чтобы изменить стиль изображения, щелкните дважды по полю графиков и установите соответствующие параметры

Определим правую часть уравнения

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид

x0=0, y0= 1, xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi - cosyi), i =0, 1, ..., 4.

Изобразим приближенное решение графически.

y' = sin x - cos y, y(0)=1.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, ..., 4

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Определим начальное условие - решение в начальной точке

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса <..>, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ <;> ("точка с запятой")

Определим шаг формулы Эйлера - шаг интегрирования

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения

Построим график найденного решения y(x)

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат - обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

2.2 Метод Эйлера с шагом h/2.

Метод Эйлера допускает простую геометрическую интерпретацию. Пусть известна точка (xi,yi) интегральной кривой уравнения y'=f(x, y).

Касательная к интегральной кривой уравнения, проходящая через эту точку, определяется уравнением

y = yi + f(xi , yi)(x-xi).

Следовательно, вычисленная методом Эйлера точка (xi+1 ,yi+1 ),

Где xi+1=xi+h, yi+1=yi + h f(xi , yi), лежит на этой касательной.

Найдем методом Эйлера на [0, 1] с шагом h=0.2 и с шагом h=0.1 приближенное решение задачи Коши

y' = sin x - cos y, y(0)=1.

Изобразим приближенные решения графически.

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид

x0=0, y0= 1, xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi - cosyi), i =0, 1, ..., 4

xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi - cosyi), i =0, 1, ..., 9

Определим правую часть уравнения

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, ..., 4 для вычислений с шагом h=0.2

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса <..>, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ <;> ("точка с запятой")

При решении задачи с шагом h=0.2 назовем шаг h1, аргумент - x1, а решение - y1.

Определим начальное условие

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим шаг формулы Эйлера - шаг интегрирования

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

Построим график найденного решения y1(x1)

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат - обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, ..., 9 для вычислений с шагом h=0.1

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса <..>, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ <;> ("точка с запятой")

При решении задачи с шагом h=0.1 назовем шаг h2, аргумент - x2, а решение - y2.

Определим начальное условие

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим шаг формулы Эйлера - шаг интегрирования

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения. Для сравнения рядом выведены значения решения, вычисленные с большим шагом

Построим график решения y2(x2)

Построим на одном графике оба приближенные решения

Для того чтобы одновременно построить графики нескольких функций от разных аргументов, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции у оси абсцисс имя первого аргумента, запятую, имя второго аргумента, и т.д., разделяя имена аргументов запятой.

Аналогично, в позиции возле оси ординат введите имя функции первого аргумента, запятую, имя функции второго аргумента и т.д. разделяя имена функций запятой.

Когда функции определены, щелкните по рабочему документу вне поля графиков.

2.3 Метод Рунге - Кутты

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины yi+1 вычисляются по следующим формулам:

yi+1 = yi + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 , i = 0, 1, ...

k1 = f(xi , yi),

k2 = f(xi+h/2, yi+hk1/2),

k3 = f(xi+h/2, yi+hk2/2),

k4 = f(xi+h, yi+hk3).

Найдем на [0, 1] приближенное решение задачи Коши y' = sin x - cos y, y(0)=1методом Рунге-Кутты 4-го порядка с шагом h=0.2 и методом Эйлера с тем же шагом.Изобразим оба приближенные решения графически

Для решения задачи методом Рунге-Кутты воспользуемся функцией rkfixed

Определим начальное условие - решение в начальной точке

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим правую часть уравнения

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Вычислим приближенное решение на отрезке [0,1], выполнив n=1/h=5 одинаковых шагов, методом Рунге-Кутты 4-го порядка; обозначим приближенное решение Y

Выведем в рабочий документ вычисленное приближенное решение

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяюшей рамки

В первом столбце приведены значения x, во втором столбце - соответствующие значения приближенного решения

Решим ту же задачу методом Эйлера

Выведем в рабочий документ вычисленное приближенное решение, и, для сравнения, решение, вычисленное методом Рунге-Кутты

Построим графики приближенных решений

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс имя первого столбца матрицы Y, содержащего значения x в узлах сетки, а в позиции возле оси ординат - имя второго столбца, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

Для того чтобы одновременно построитьграфики нескольких функций от разных аргументов, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции у оси абсцисс имя первого аргумента, запятую, имя второго аргумента, и т.д., разделяя имена аргументов запятой.

Аналогично, в позиции возле оси ординат введите имя функции первого аргумента, запятую, имя функции второго аргумента и т.д. разделяя имена функций запятой.

Когда функции определены, щелкните по рабочему документу вне поля графиков.

Для того чтобы ввести номер столбца, щелкните по соответствующему символу в панели Matrix

Для того чтобы изменить стиль изображения, щелкните дважды по полю графиков и установите в окне соответствующие параметры

Заключение

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Система Mathcad пользуется огромной популярностью во всем мире, позволяя готовить вполне профессиональные документы, имеющие вид статей и книг по математике.

Программа Microsoft Excel входит в офисный пакет Microsoft Office и предназначена для подготовки и обработки электронных таблиц под управлением операционной системой Windows. Microsoft Excel - это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он представляет возможность производить различные расчеты, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.

MathCAD - это мощная и в то же время простая универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, строительства и архитектуры, математики и статистики, организации производства и управления… Она располагает широким набором инструментальных, информационных и графических средств. Сегодня MathCAD - одна из самых популярных математических систем. Она пользуется большим спросом у студентов, инженеров, экономистов, менеджеров, научных работников и всех тех, чья деятельность связана с количественными методами расчета.

Microsoft Excel _ средство для работы с электронными таблицами, намного превышающее по своим возможностям существующие редакторы таблиц, первая версия данного продукта была разработана фирмой Microsoft в 1985 году. Microsoft Excel _ это простое и удобное средство, позволяющее проанализировать данные и, при необходимости, проинформировать о результате заинтересованную аудиторию, используя Internet. Microsoft® Excel разработан фирмой Microsoft, и является на сегодняшний день самым популярным табличным редактором в мире. Кроме стандартных возможностей его отличает следующие возможности, он выводит на поверхность центральные функции электронных таблиц и делает их более доступными для всех пользователей. Для облегчения работы пользователя упрощены основные функции, создание формул, форматирование, печать и построение графиков.

Данная курсовая работа позволила мне более близко познакомится с пакетом прикладных программ MathCAD и Microsoft Excel. Мной было рассмотрено несколько способов решения дифференциальных уравнений.

Всё это позволило в полном объеме усвоить лекционный материал и понять перспективы использования вычислительной техники при решении различных задач практического характера.

Список литературы

1. Индейкин В. В. Табличный редактор Microsoft Excel. Учебное пособие. - Казань, 1999. - 75с.

2. Кудрявцев Е. М. MathCAD 2000 Pro. - М.: ДМК Пресс, 2001. - 571с.

3. Руководство пользователя Mathcad 6.0 и Mathcad PLUS 6.0. - Компания SoftLine. http://www.exponenta.ru/soft/Mathcad/UsersGuide/0.asp