Решение задач линейного программирования симплекс методом

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Решение задач линейного программирования симплекс методом

Решение задач линейного программирования симплекс методом

2

Федеральное агентство по образованию РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования

Барнаульский строительный колледж

Курсовая работа.

По дисциплине: «Математические методы»

На тему: «Решение задач линейного программирования симплекс методом»

Выполнил: Нунгесер М.В.

Специальность: ПОВТ

Группа: 0881

Преподаватель: Клепикова Н.Н.

Барнаул 2010

Содержание:

• Введение
• Линейное программирование
• Симплекс метод
• Постановка задачи
• Разработка алгоритма
• Решение задачи
• Программная реализация на языке Delphi
• Приложение
• Заключение
• Список используемой литературы


Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно -линейное программирование.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Математическая формулировка задачи линейного программирования

Нужно определить максимум линейной целевой функции (линейной формы)

при условиях

Иногда на xi также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя её во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).

На начальном шаге алгоритма симплекс-метода должно быть выбрано базисное допустимое решение (X1, ..., Xm) >= 0 при Xj = 0 (j = m+1, ..., n), следовательно, все свободные члены ограничений Ai,0 >= 0 (i = 1, ..., m). Когда это условие выполнено, симплекс-таблица называется прямо-допустимой, так как в этом случае базисные переменные, равные Ai,0, определяют допустимое решение прямой задачи линейного программирования. Если все коэффициенты целевой функции A0,j >= 0 (j = 1, ..., m), то симплекс-таблица называется двойственно-допустимой, поскольку соответствующее решение является допустимым для двойственной задачи линейного программирования.

Если симплекс-таблица является одновременно прямо и двойственно допустимой, т.е. одновременно все Ai,0 >= 0 и A0,j >= 0, то решение оптимально.

Действительно, поскольку допустимыми являются лишь неотрицательные значения управляемых параметров, то изменение целевой функции за счет вариации свободных переменных, через которые она выражена, возможно только в сторону увеличения, т.e. будет ухудшаться. Если среди ее коэффициентов имеются A0,j < 0, то значение целевой функции еще можно уменьшить (т.e. улучшить), увеличивая значение любой свободной переменной Xj с отрицательным коэффициентом A0,j при побочном уменьшении базисных переменных, чтобы оставались справедливы ограничения задачи. Теоретически можно использовать любую свободную переменную Xj с A0,j < 0, но на практике обычно действуют в соответствии со стратегией наискорейшего спуска, выбирая минимальный элемент A0,p < 0 из всех отрицательных A0,j <&nbsp0:

A0,p = min A0,j < 0.

j

Столбец p симплекс-таблицы, соответствующий выбранному коэффициенту A0,p < 0, называется ведущим столбцом. Свободная переменная ведущего столбца должна быть введена в базис вместо одной из текущих базисных переменных. Очевидно, из базиса следует исключить такую переменную Xq, которая раньше других обращается в нуль при увеличении переменной Xp ведущего столбца.

Её индекс легко определить, если среди положительных элементов ведущего столбца p найти элемент, минимизирующий отношение (Ai,0 / Ai,p):

Aq,0 Ai,0

------ = min ------ , i = 1,...,m.

Aq,p i Ai,p

Элемент Aq,p называется ведущим элементом, cтрока q симплекс-таблицы, содержащая ведущий элемент, называется, соответственно, ведущей строкой. Переменная ведущей строки Xq заменяется в базисе переменной ведущего столбца Xp и становится свободной переменной с значением 0, в то время как новая базисная переменная Xp достигнет максимально возможного значения, равного: max Xp = ( Aq,0 / Aq,p).

После указанного взаимообразного обмена переменными Xp и Xq между наборами свободных и базисных переменных нужно модифицировать исходную каноническую модель задачи путем приведения ее к диагональной форме относительно нового множества базисных переменных. Для указанного преобразования можно формально использовать процедуру исключения Гаусса, которая, как известно, состоит из двух элементарных операций, применяемых к системе алгебраических уравнений ( в данном случае ограничений - равенств):

· умножение уравнения E1(X) = 0 на константу K1 и замена уравнения E1(X) = 0 уравнением K1*E1(X) = 0;

· сложение уравнений E1(X) = 0 и E2(X) = 0 c последующей заменой уравнения E2(X) = 0 уравнением E1(X) + E2(X) = 0.

Исключения Гаусса позволяют привести систему уравнений к диагональной форме относительно желаемого множества переменных. В данном случае исключение Гаусса применяется так, чтобы все элементы симплекс-таблицы в ведущем столбце, кроме ведущего элемента Aq,p, стали нулевыми, а ведущий элемент стал равным единице:

Ai,p = 0, если i не равно q

и

Ai,p = 1, если i = q.

Указанные шаги симплекс-метода повторяются, пока не будет получена симплекс-таблица, которая одновременно является прямо и двойственно допустимой. Если положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными Ai,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение.

Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой перебор базисных допустимых решений. Однако, трудные для симплекс метода задачи на практике встречаются крайне редко, что объясняет широкое распространение и большую популярность данного метода линейного программирования по сравнению с другими подходами.

На звероферме могут выращиваться норки, выдры и нутрии. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется 3 вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать зверьки в среднем приведено в таблице:

В таблице указано общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки зверька.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3500 x1 +3200 x2 +1500 x3 при следующих условиях ограничений.

4 x1 + 2 x2 + 5 x3 <=190

5 x1 + 3 x2 + 4 x3 <=320

7 x1 + 9 x2 + 5 x3 <=454

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.

4x1 + 2x2 + 5x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 190

5x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 320

7x1 + 9x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 454

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x4 , x5 , x6

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,190,320,454)

Поскольку задача решается на максимум, то ведущий столбец выбирают по максимальному отрицательному числу и индексной строке. Все преобразования проводят до тех пор, пока не получатся в индексной строке положительные элементы.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 4 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 1 войдет переменная x1

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=4

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1 .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (4), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Итерация №1

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 5.5 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 2 войдет переменная x2

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=5.5

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x2 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2 .

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (5.5), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Конец итераций: найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 729/20=36.45

x5 =1429/20= 71.45

x2 =243/11= 22.09

F(X) = 3500*36.45 + 3200*22.09 = 198281.82

end;

i:=n+1; {используем последнюю строку массива полей для целевой ф-ции}

for j:=1 to m+1 do

begin

pole[i,j]:=TEdit.Create(Form1.ScrollBox1);

pole[i,j].parent:=form1.ScrollBox1;

pole[i,j].Height:=20;

pole[i,j].Width:=40;

pole[i,j].Left:=80*(j-1)+30;

pole[i,j].Top:=30;

pole[i,j].Text:='0';

if j<=m then

begin

podpis[i,j]:=TLabel.Create(Form1.ScrollBox1);

podpis[i,j].parent:=form1.ScrollBox1;

podpis[i,j].Height:=20;

podpis[i,j].Width:=20;

podpis[i,j].Left:=pole[i,j].Left+pole[i,j].Width+2;

podpis[i,j].Top:=pole[i,j].Top+2;

podpis[i,j].Caption:='X['+inttostr(j)+']';

if j<>m+1 then podpis[i,j].Caption:=podpis[i,j].Caption+' +';

{если поле не последнее, то дописываем плюсик}

end;

end;

for i:=1 to n do {поля для ввода ограничений}

for j:=1 to m+1 do

begin

pole[i,j]:=TEdit.Create(Form1.ScrollBox1);

pole[i,j].parent:=form1.ScrollBox1;

pole[i,j].Height:=20;

pole[i,j].Width:=40;

pole[i,j].Left:=80*(j-1)+5; {расстояние между соседними + отступ от края}

pole[i,j].Top:=40*(i-1)+100;

pole[i,j].Text:='0';

if j<=m then

begin

podpis[i,j]:=TLabel.Create(Form1.ScrollBox1);

podpis[i,j].parent:=form1.ScrollBox1;

podpis[i,j].Height:=20;

podpis[i,j].Width:=20;

podpis[i,j].Left:=pole[i,j].Left+pole[i,j].Width+2;

podpis[i,j].Top:=pole[i,j].Top+2;

podpis[i,j].Caption:='X['+inttostr(j)+']';

if j<>m then podpis[i,j].Caption:=podpis[i,j].Caption+' +'

{если поле не последнее, то дописываем плюсик; иначе пишем знак}

else begin

znak[i]:=TComboBox.Create(Form1.ScrollBox1);

znak[i].parent:=form1.ScrollBox1;

znak[i].Height:=20;

znak[i].Width:=40;

znak[i].Left:=podpis[i,j].Left+podpis[i,j].Width+25;

znak[i].Top:=pole[i,j].Top;

znak[i].Items.Insert( 0,'> ');

znak[i].Items.Insert( 1,'>=');

znak[i].Items.Insert( 2,' =');

znak[i].Items.Insert( 3,'<=');

znak[i].Items.Insert( 4,'< ');

znak[i].ItemIndex:=1;

end;

end else pole[i,j].Left:=pole[i,j].Left+70; //поля для правой части

//ограничений

end;

end else {если табличку создавать не надо, то разблокируем поля}

begin

for i:=1 to n+1 do

for j:=1 to m+1 do

begin

pole[i,j].Enabled:=true;

if i<=n then znak[i].Enabled:=true;

end;

end;

end;

{/////////////////}

procedure write_system(strok,stolb: integer);

{записывает массив в виде уравнений}

var

i,j: integer;

begin

write(f,'<P>F(x) = ');

for j:=1 to stolb do

begin

write(f,matrix[strok,j]:0:3);

if j<stolb then

begin

write(f,'x_',j,'');

if (kanon=true) and (j=stolb-1) then write(f,' = ') else

if (matrix[strok,j+1]>=0) then write(f,' + ') else write(f,' ');

end;

end;

writeln(f,'</P>');

writeln(f,'<P>При ограничениях:</P><P>');

for i:=1 to strok-1 do

begin

for j:=1 to stolb do

BEGIN

write(f,matrix[i,j]:0:3);

if j<stolb then write(f,'x_',j,' ');

if j=stolb-1 then

if kanon=false then write(f,' ',znak[i].text,' ')

else write(f,' = ');

if (matrix[i,j+1]>=0) and (j<stolb-1) then write(f,'+');

end;

writeln(f,'<br>');

end;

writeln(f,'</P>');

end;

{/////////////////}

procedure zapisat(strok,stolb: integer; v_strok,v_stolb:integer);

{записывает массив в виде таблички}

var

i,j:integer;

begin

writeln(f,'<TABLE BORDER BORDERCOLOR=black CELLSPACING=0 CELLPADDING=5>');

for i:=0 to strok do

begin

writeln(f,'<TR>');

for j:=1 to stolb+1 do

begin

write(f,'<TD ');

if i=0 then

begin

if (i_basis<>0) and (j>m+y-i_basis) and (j<=m+y) then

write(f,'BGCOLOR=yellow ')

else

write(f,'BGCOLOR=green ');

end

else

if (i=v_strok) or (j=v_stolb) then write(f,'BGCOLOR=silver ') else

if (i=strok) or (j=stolb) then

if (j<>stolb+1) then write(f,'BGCOLOR=olive ');

write(f,'align=');

if (i=0) and (j<stolb) then write(f,'center>X<sub>',j,'<sub>') else

if (i=0) and (j=stolb) then write(f,'center>св. чл.') else

if (i=0) and (j=stolb+1) then write(f,'center>базис') else

if (j=stolb+1) then

if i<>n+1 then write(f,'center>X_{',all_basis[i],'}') else

write(f,'center>&nbsp')

else

write(f,'right>',matrix[i,j]:1:3);

writeln(f,'</TD>');

end;

writeln(f,'</TR>');

end;

writeln(f,'</TABLE>');

end;

{/////////////////}

procedure findved;

{ищет ведущий элемент}

var

i,j,k: integer;

temp: double;

begin

done:=false;

solve:=false;

is_ok:=true;

temp:=100000;

i0:=0;

j0:=0;

i:=n+1;

for j:=1 to m+y do

if (i0=0) or (j0=0) then

if matrix[i,j]>0 then

begin

j0:=j;

for k:=1 to n do

if (matrix[k,j]>0) then

if (matrix[k,m+y+1]/matrix[k,j]<temp) then

begin

temp:=matrix[k,m+y+1]/matrix[k,j];

i0:=k;

end;

end;

if (j0=0) and (i0=0) then

for j:=1 to m do

if matrix[n+1,j]=0 then

for i:=1 to n do

if (matrix[i,j]<>0) and (matrix[i,j]<>1) then

begin

is_ok:=false;

j0:=j;

end;

if is_ok=false then

begin

temp:=100000;

for k:=1 to n do

if (matrix[k,j0]>0) then

if (matrix[k,m+y+1]/matrix[k,j0]<temp) then

begin

temp:=matrix[k,m+y+1]/matrix[k,j0];

i0:=k;

end;

end;

if (j0=0) and (i0=0) then

begin

writeln(f, '<P>Конец вычислений</P>');

done:=true;

solve:=true;

end

else if (j0<>0) and (i0=0) then

begin

writeln(f, '<P>Не удается решить систему</P>');

done:=true;

solve:=false;

end

else

if iter<>0 then

begin

writeln(f,'<P><b>Итерация ',iter,'</b></P>');

writeln(f, '<P>Найдем ведущий элемент:</P>');

zapisat(n+1,m+y+1,i0,j0);

writeln(f,'<P>Ведущий столбец: ',j0,'<br>Ведущая строка: ',i0,'</P>');

write(f,'<P>В строке ',i0,': базис ');

writeln(f,'X_{',all_basis[i0],'} заменяем на X_',j0,'</P>');

all_basis[i0]:=j0;

end;

end;

{/////////////////}

procedure okr;

{округляет мелкие погрешности}

var

i,j: integer;

begin

for i:=1 to n+1 do

for j:=1 to m+y+1 do

if abs(matrix[i,j]-round(matrix[i,j]))< tochnost then

matrix[i,j]:=round(matrix[i,j]);

end;

{/////////////////}

procedure preobr;

{преобразует массив относительно ведущего элемента}

var

i,j,k,l,t: integer;

temp: double;

begin

if done=false then

begin

write(f, '<P>Пересчет:</P>');

temp:=matrix[i0,j0];

for j:=1 to m+y+1 do matrix[i0,j]:=matrix[i0,j]/temp;

for i:=1 to n+1 do

begin

temp:=matrix[i,j0];

for j:=1 to m+y+1 do

if (i<>i0) then

matrix[i,j]:=matrix[i,j]-matrix[i0,j]*temp;

end;

okr;

zapisat(n+1,m+y+1,-1,-1);

{/////////////////////////убираем искусственный базис/////////////////////}

if i_basis>0 then {если он есть }

begin

t:=0;

for j:=m+y-i_basis+1 to m+y do {от первого исскусственного элемеента до конца}

begin

need_i_basis:=false;{предполагаем, что элемент не нужен (*)}

for i:=1 to n do {просматриваем столбец}

if all_basis[i]=j then{и если элемент в базисе}

need_i_basis:=true;{тогда он все-таки нужен}

if need_i_basis=false then t:=j;

{если наши предположения (*) подтвердились, то запомним этот элемент}

end;

if t<>0 then

begin

for k:=1 to n+1 do {во всех строках}

begin

for l:=t to m+y do {от текущего столбца до последнего}

matrix[k,l]:=matrix[k,l+1];{заменяем элемент на соседний}

matrix[k,m+y+1]:=0;{а последний убираем}

end;

{столбец удален! надо это запомнить}

y:=y-1;

i_basis:=i_basis-1;

if i_basis>0 then {если остались еще искусственные переменные,}

for l:=m+y-i_basis+1 to m+y do{то от первой из них до последней}

for i:=1 to n do {просматриваем строки в столбце}

if matrix[i,l]=1 then all_basis[i]:=l; {туда, где 1, заносим в базис}

writeln(f,'<P>Искусственная переменная исключена из базиса<br>');

writeln(f,'и может быть удалена из таблицы.');

writeln(f,'</P>');

zapisat(n+1,m+y+1,-1,-1);

end;

end;

{///////////////закончили убирать искусственный базис////////////////////}

end;

end;

{/////////////////}

procedure otvet;

{выводит ответ}

var

i,j: integer;

begin

writeln(f,'<P><b>ОТВЕТ:</b></P>');

form1.Memo1.ReadOnly:=false;

form1.Memo1.Lines.Clear;

form1.Memo1.Lines.Add('ОТВЕТ:');

form1.Memo1.Lines.Add('');

if (solve=true) and (i_basis=0) then

write(f,'F(');

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+'F(';

if form1.Extrem.ItemIndex=0 then

begin

write(f,'max) = ',0-matrix[n+1,m+y+1]:0:3);

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+'max) = ';

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+floattostr(0-matrix[n+1,m+y+1]);

end

else

begin

write(f,'min) = ',matrix[n+1,m+y+1]:0:3);

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+'min) = ';

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+floattostr(matrix[n+1,m+y+1]);

end;

writeln(f,'<br>при значениях:<br>');

form1.Memo1.Lines.Add('');

form1.Memo1.Lines.Add('');

form1.Memo1.Lines.Add('при значениях:');

form1.Memo1.Lines.Add('');

for j:=1 to m do

begin

writeln(f,'x_',j,' = ');

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+'X[';

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+inttostr(j);

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+'] = ';

written:=false;

for i:=1 to n do

if all_basis[i]=j then

begin

writeln(f,matrix[i,m+y+1]:0:3,'<br>');

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+floattostr(matrix[i,m+y+1]);

form1.Memo1.Lines.Add('');

form1.Memo1.Lines.Add('');

written:=true;

end;

if written=false then

begin

writeln(f,'0.000 <br>');

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+'0';

form1.Memo1.Lines.Add('');

form1.Memo1.Lines.Add('');

end;

end;

end else

begin

writeln(f,'<P>Решение не найдено.(</P>');

form1.Memo1.Lines.Text:=form1.Memo1.Lines.Text+'Решение не найдено.';

end;

form1.Memo1.ReadOnly:=true;

end;

{/////////////////}

procedure Step2;

{шаг второй: решение задачи и формирование отчета}

var

i,j: integer;

k: integer;

begin

for i:=1 to n+1 do

for j:=1 to m+1 do

begin

matrix[i,j]:=strtofloat(pole[i,j].Text); {Вводим значения в массив}

pole[i,j].Enabled:=false; {Блокируем поля}

if i<=n then znak[i].Enabled:=false;{блокируем знаки}

end;

form1.Extrem.Enabled:=false;

{////////////////////////////////////////////////////////////////////////////}

{ имеем матрицу [ n+1, m+1 ] }

rewrite(f);

writeln(f,'<HTML>');

writeln(f,'<HEAD>');

writeln(f,'<TITLE>Отчет</TITLE>');

writeln(f,'</HEAD>');

writeln(f,'<BODY>');

writeln(f,'<H1>Отчет</H1>');

write(f,'<P><b>Необходимо ');

if form1.Extrem.ItemIndex=0 then write(f,'макс') else write(f,'мин');

writeln(f,'имизировать целевую функцию:</b></P>');

kanon:=false;{еще не в канонической форме}

write_system(n+1,m+1);{Выведем ее в отчет}

{приведем ее к каноническому виду}

writeln(f,'<P><b>Приведем к каноническому виду:</b></P>');

y:=0;{количество дополнительных переменных}

need_basis:=false;

for i:=1 to n do

if znak[i].ItemIndex<>2 then {если ограничение не является равенством}

begin

y:=y+1; {вводим дополнительную переменную, для этого:}

for k:=1 to n+1 do begin {во всех ограничениях и в ЦФ}

{перед правой частью добавляем столбец}

matrix[k,m+y+1]:=matrix[k,m+y];

matrix[k,m+y]:=0;{состоящий из нулей}

end;

{а в текущем ограничении, если знак был > или >=}

if (znak[i].ItemIndex=0) or (znak[i].ItemIndex=1) then

begin

matrix[i,m+y]:=-1;{записываем -1}

need_basis:=true;

end

else {иначе, т.е. в случае < или <=}

matrix[i,m+y]:=1; {записываем 1}

end

else need_basis:=true;

{ЦФ приравнивается к нулю, а свободный член переносится в правую часть:}

matrix[n+1,m+y+1]:=0-matrix[n+1,m+y+1];

{правые части ограничений должны быть неотрицательны, проверим это:}

for i:=1 to n do {для всех ограничений}

if matrix[i,m+y+1]<0 then {если правая часть отрицательна,}

{то отнимаем всю строку от нуля}

for j:=1 to m+y+1 do matrix[i,j]:=(0-matrix[i,j]);

kanon:=true;{система приведена к каноническому виду}

{выведем ее в отчет}

write_system(n+1,m+y+1);

{если ф-ция на минимум, то нужно поменять знаки в последней строке}

if form1.Extrem.ItemIndex=1 then

for j:=1 to m+y+1 do matrix[n+1,j]:=0-matrix[n+1,j];

{////////////////////////////////////////////////////////////////////////////}

{////////////////////////// Тут надо ввести базис ///////////////////////////}

i_basis:=0;

for i:=1 to n do {то во всех ограничениях}

begin

is_basis:=false;

for j:=1 to m+y do

if (matrix[i,j]=1) then

if (is_basis=false) then

begin

iter:=0;

repeat

inc(iter);

findved;

preobr;

until (i_basis=0) or (iter=20) or (done=true);

if i_basis=0 then

begin

writeln(f,'<P>Искусственный базис выведен полностью.<br>');

writeln(f,'Получено первое допустимое решение!</P>');

end

else

begin

writeln(f,'<P>Не удалось вывести искусственный базис.<br>');

writeln(f,'Решение не найдено.</P>');

end;

end;

{//////////////////////// попытки избавленя окончены ////////////////////////}

{////////////////////////////////////////////////////////////////////////////}

{/////////////////////////////// SIMPLEX START /////////////////////////////}

if i_basis=0 then

begin

iter:=0;

findved;

if done=false then

begin

writeln(f,'<H2>Применяем симплекс метод</H2>');

repeat

inc(iter);

findved;

preobr;

until (done=true) or (iter=20);

end;

end;

otvet;

{/////////////////////////////// SIMPLEX END ///////////////////////////////}

writeln(f,'</BODY>');

writeln(f,'</HTML>');

CloseFile(f);

{////////////////////////////////////////////////////////////////////////////}

end;

{////////////////////////////////////////////////////////////////////////////}

{///////// все, что ниже, относится к переходам между шагами ////////////////}

{////////////////////////////////////////////////////////////////////////////}

procedure TForm1.ExitClick(Sender: TObject);

begin

Close();

end;

procedure TForm1.Button_NextClick(Sender: TObject);

begin

step:=step+1;

Form1.Button_Prev.Enabled:=true;

case step of

1:Step1;

2:begin

Step2;

Form1.Button_Next.Enabled:=false;

end;

else step:=step-1;

end;

form1.Caption:='Симплекс метод - шаг '+inttostr(step);

end;

procedure TForm1.Button_PrevClick(Sender: TObject);

begin

step:=step-1;

Form1.Button_Next.Enabled:=true;

case step of

0:begin

Init;

Form1.Button_Prev.Enabled:=false;

end;

1:Step1;

else step:=step+1;

end;

form1.Caption:='Симплекс метод - шаг '+inttostr(step);

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

Init;

end;

В данной курсовой работе было рассмотрено решение задач линейного программирования симплекс методом. Задача была решена симплекс методом, так же задача была решена графически (построен график). Для представленной задачи была составлена программа на языке Delphi, программа находит значения целевой функции при условии максимизации значения.

Таким образом, вычислительная техника в настоящее время находит широкое применение, как в общей математике, так и в одном из её разделов - математических методах.