|
|
|
 |
Система счисления |
|
 |
БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Система счисления
Система счисления
13 - Содержание
- Что такое система счисления?
- Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
- Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры -- двоичной?
- Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
- Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- Сложение в различных системах счисления
- Вычитание в различных системах счисления
- Умножение в различных системах счисления
- Деление в различных системах счисления
Что такое система счисления?Система счисления -- это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая -- 7 единиц, а третья -- 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления -- количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. За основание системы можно принять любое натуральное число -- два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры -- 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 -- замену её на 0.Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел · в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:|
Двоичная система | Четверичная система | Восьмеричная система | Десятичная система | Шестнадцатиричная система | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 10 | 2 | 2 | 2 | 2 | | 11 | 3 | 3 | 3 | 3 | | 100 | 10 | 4 | 4 | 4 | | 101 | 11 | 5 | 5 | 5 | | 110 | 12 | 6 | 6 | 6 | | 111 | 13 | 7 | 7 | 7 | | 1000 | 20 | 10 | 8 | 8 | | 1001 | 21 | 11 | 9 | 9 | | 1010 | 22 | 12 | 10 | A | | 1011 | 23 | 13 | 11 | B | | 1100 | 30 | 14 | 12 | C | | 1101 | 31 | 15 | 13 | D | | 1110 | 32 | 16 | 14 | E | | 1111 | 33 | 17 | 15 | F | | 10000 | 40 | 20 | 16 | 10 | | |
Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры -- двоичной?Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: · для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток -- нет тока, намагничен -- не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, -- как в десятичной;· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;· двоичная арифметика намного проще десятичной.Недостаток двоичной системы -- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 -- соответственно, третья и четвертая степени числа 2). Перевод чисел из одной системы счисления в другуюКоличество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления - "p". Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ... (1.1)здесь N - число, aj - коэффициенты (цифры числа), p - основание системы счисления (p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр: N = anan-1 ... a1a0 . a-1a-2 ...Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.|
1. Переведем целую часть: | 2. Переведем дробную часть: | 3. Таким образом: | | | | 2310 = 101112;0.12510 = 0.0012.Результат: 23.12510 = 10111.0012. | | |
Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение: S = RN, где S, R - основания систем счисления, N - степень кратности (целое число: 2, 3 … ).Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S. Таблица|
Перевести 1101111001.11012"8" с.с. | Перевести 11111111011.1001112"16" с.c. | | | | | |
Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512) и младших (15,124000) разрядах.|
Перевести 305.48"2" с.с. | Перевести 7B2.E16"2" с.с. | | | | | |
Если требуется выполнить перевод из системы счисления S в R, при условии что они не являются кратными, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = KN и R = KN.Перевести 175.248"16" с.с.Результат: 175.248 = 7D.516.Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную систему счисления.Для всего этого примерыПеревод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).Например:Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:Сложение в различных системах счисленияТаблицы сложения легко составить, используя Правило Счета. Вычитание в различных системах счисленияУмножение в различных системах счисленияВыполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.Деление в различных системах счисленияДеление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
|
|
 |
НОВОСТИ |
 |
|
| Изменения |
|
| Прошла модернизация движка, изменение дизайна и переезд на новый более качественный сервер |
|
