|
|
|
 |
Задачи синтеза оптимальных систем управления |
|
 |
БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА - РЕФЕРАТЫ - Задачи синтеза оптимальных систем управления
Задачи синтеза оптимальных систем управления
11 Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Задачи синтеза оптимальных систем управленияСтатистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.Постановка задачи Винера-Колмогорова.Дано: x (t) - полезный сигнал; z (t) - помеха; Kи (p) - оператор преобразования.Рис. 1Определить: оптимальную передаточную функцию - K0 (p).Передаточная функция K0 (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t) и помеха - z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.В зависимости от оператора Ки (р) рассматриваются следующие задачи:Ки (р) = 1 - воспроизведения;Ки (р) = 1/р - статистического интегрирования;Ки (р) = р - статистического дифференцирования;Ки (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибкиСредняя квадратичная ошибка равнаМы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (). Необходимо найти такое к (), при котором ошибка будет минимальной.Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.Пусть ; где: - оптимальная функция веса; - приращение.Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:;где А - функция, которая не зависит от а; В - функция, которая зависит от а; С - функция, которая зависит от а2.Найдем экстремум по параметру ак () -оптимально если а = 0 т.е. В = 0.Откуда можно получить следующее выражение (1)Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.Решение уравнение Винера-Хопфа.Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение: (2)Откуда (3)Но это уравнение физически нереализуемо так как к0 () = 0 при < 0 т.е. K0 (j) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде: (4)Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части (5)где [] + - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.Определим Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости: (6)Это формула Винера-Колмогорова.Примеры решений задачПример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.Kи (p) = 1; Рис. 2Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:Так как сигнал и помеха некоррелированы и Kи (p) = 1, то выражение имеет вид:Определим Кф (j) Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой частиПри этомЗначения А и В найдем методом неопределенных коэффициентовС учетом полученных выраженийПри этом передаточная функция представляет аппериодическое звеноГдеПример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.3.Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.Kи (p) = р;Рис. 3Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид: Определим Кф (j)гдеИспользуя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой частиГдеЗначения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов С учетом полученных выраженийПри этом передаточная функция представляет апериодическое звеногде ЛитератураГуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985. Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.
|
|
 |
НОВОСТИ |
 |
|
| Изменения |
|
| Прошла модернизация движка, изменение дизайна и переезд на новый более качественный сервер |
|
