№ вар	Тип вагона и его модель	Степень загрузки	Число пружин в рессорном комплекте	Неровность (П,К)
		по массе	по объему		амплитуда , мм	длина волны , м
1	11-066	1	1	7	8	12,5

Таблица 2.2

Параметры модели кузова и груза

Название элемента	Обозначение параметра	Значение
Внутренние размеры кузова, мм: - длина; - ширина; - высота по боковой стене	L B H	13844 2760 2791
База модели, мм	2l	10000
Размеры элементов кузова, мм: - толщина торцевой стены; - толщина боковой стены; - высота рамы.	aT aБ hp	20 20 360
Поперечное расстояние между осями рессорного подвешивания, мм:	2b	2036
Массы вагона (тары), кг;	MВ	22000
Масса груза, кг;	MГ	68000
Масса тележки, кг;	MТ	4800
Масса надрессорной балки, кг;	MНБ	600

3 Динамическая система и метод расчета

3.1 Допущения по расчетной модели

При выборе динамической расчетной модели принимаем следующие допущения:

· динамическую систему представляем в виде системы твердых тел;

· полагаем, что в рессорном подвешивании отсутствуют диссипативные силы сухого и вязкого трения, система вследствие этого будет являться консервативной;

· грузы рассматриваем как твердые тела с жестким присоединением к кузову вагона;

· рессорные комплекты тележек имеют линейную силовую характеристику;

· путь считаем абсолютно жестким.

3.2 Источник возмущений

В качестве источника возмущения принимаем гармоническую неровность первого вида:

,(3.1)

где - частота изменения гармонической неровности:

,(3.2)

- скорость движения вагона.

3.3 Метод расчета и уравнения колебаний системы

Физическая модель метода расчета

Для расчета системы используем метод реактивных усилий. Колебания кузова в пространстве определяем по движению центра масс кузова : тремя линейными и тремя угловыми его перемещениями по направлению координатных осей кузова (рисунок 4.1).

Движение всех других частей кузова находим по колебаниям центра масс кузова и координатам этих частей, .

Узел , движение которого будем изучать, условимся называть центрально-координатным узлом.

Центрально-координатный узел полагаем имеет внутренние линейные и угловые связи по направлению координатных осей . Считаем, что все усилия, действующие на рассматриваемое тело, через внутренние элементы-вставки передаются в связи центрально-координатного узла и здесь взаимно уравновешиваются на основании принципа Лангранжа-Деламбера.

Усилия, которые подходят к узлу, являются активными. Они вызывают в связях реакции: - сил инерции, - сил упругости, - сил вязкого трения, - возмущающие силы и другие, равные по величине активным силам и противоположно по направленные, где - номер реакции и номер перемещения.

По видам перемещений кузова колебаниям присвоены названия:

- колебание подергивания (линейное по оси );

- колебание подпрыгивания (линейное по оси );

- колебание бокового относа (линейное по оси );

- колебание бокового поворота (угловое вокруг оси );

- колебание виляния (угловое вокруг оси );

- колебание галопирования (угловые вокруг оси ).

Уравнения колебаний вагона

Уравнения колебаний вагона в общем случае запишутся из уравнений равновесия реакций в центрально-координатных связях кузова:

(3.3)

Для сил инерции и сил упругости с линейными характеристиками значения реакций будем записывать через коэффициенты от единичных воздействий:

(3.4)

где - коэффициенты реакций сил инерции и упругости от единичных возмущений: .

Уравнения колебаний (3.3) в этом случае можно представить в развернутой записи как систему уравнений вида:

(3.5)

3.4 Структура физико-математической модели динамической системы и ее топологическая модель

По видам нагрузок и подконструкций расчетную модель вагона представим в виде отдельных подсистем - блок-моделей.

В общем случае основными подсистемами расчетной модели являются:

1. Топологическая модель;

2. Инерционная модель;

3. Виброзащитная модель;

4. Диссипативная модель вязкого трения;

5. Диссипативная модель сухого трения;

6. Модель возмущающих нагрузок;

7. Гравитационная модель сил тяжести.

Частную топологическую модель представляем в виде невесомых подконструкций, с соответствующими размерами и связями между ними, массами, силовыми устройствами, центрально-координатными узлами.

Топологическая модель подразделяется на отдельные подсистемы, работающие с заданным видом нагрузок блок-моделей.

Топологическими характеристиками динамической системы являются:

· общие размеры динамической системы;

· геометрические размеры отдельных элементов, узлов, частей, единиц подвижного состава;

· положение центров масс и координатных осей подконструкций.

В качестве частей конструкции в физических моделях выступают: кузов вагона, рамы тележек, колесные пары, рессорные комплекты, подрессоренные грузы и т.п.

В расчетных моделях узлы подконструкций в зависимости от вида их нагрузок будем в дальнейшем называть инерционными, виброзащитными, диссипативными и так далее.

4 Инерционно-топологическая модель вагона

4.1 Характеристика инерционно-топологической подсистемы

Для определения характеристик инерции разбиваем кузов на узлы инерции: раму, торцевые и боковые стены, крышу, надрессорные балки, груз и указываем размеры частей на схеме (рис 4.1)

Считаем в инерционных элементах (частях кузова) массы распределенными равномерно по их объемам.

Заменяем распределенные массы элементов на сосредоточенные и располагаем их в центрах масс элементов.

Для определения координат центров масс элементов и кузова принимаем начальную систему координат . Ось направим по оси автосцепки, другие - - по осям симметрии кузова (рисунок 4.1).

Координаты центров тяжести элементов в системе координат заносим в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Характеристики узлов

	M, кг	l, мм	b, мм	h, мм	x, мм	y, мм	z, мм
Рама	7000	13870	3200	360	0	-1367	0
Тор. стена	350	20	2760	2791	6925	118,6	0
Бок. стена	1559	13870	20	2791	0	118,6	1590
Крыша	1603	13870	3200	587	0	1777	0
Груз	68000	13844	2760	2791	0	118,6	0
Над. Бал.	600	325	2590	325	5000	-1799	0
Сумма(М)	78512

Положение центра масс кузова и его главных координатных осей

Положение центра масс кузова определяется координатами .

Из условия равенства суммы моментов инерции элементов по оси и общего для кузова от возмущений , выражения координат равны:

,(4.1)

где - массы кузова, участвующие в колебаниях по направлению осей :

;

- координаты центров масс элементов и груза в начальной системе координат .

Рисунок 4.1- Топологическая модель кузова вагона

В центре масс кузова помещаем центрально-координатную систему . Поскольку оси системы совпадают с осями симметрии кузова, то они будут являться главными осями тела инерции.

Находим расстояние от центра масс вагона до уровня верха пружин рессорных комплектов:

мм(4.2)

где - расстояние от оси автосцепки до верха пружин, м.

4.2 Характеристики инерции

Характеристики инерции определяются ускорениями колебаний центра масс кузова по направлению координатных осей кузова.

Для определения характеристик инерции, в центрах масс элементов устанавливаем местные координатные оси . При определении коэффициентов инерции задаем последовательно центру масс тела перемещения с ускорением , находим в центрах масс элементов силы инерции и моменты сил инерции и от них реакции сил инерции в центре масс тела (рис. 4.2).

Реакции образуют матрицу коэффициентов инерции . Поскольку оси кузова являются главными и центральными, то побочные реакции равны нулю (). Тогда в качестве характеристик инерции будут выступать главные коэффициенты инерции тела .

Поскольку оси параллельны осям координат тела , то от коэффициенты масс и моментов инерции масс кузова будут равны:

,(4.3)

где - коэффициенты инерции масс от линейных ускорений (), кг;

- коэффициенты инерции масс от угловых ускорений (), кгм2;

- моменты инерции масс элементов относительно местных координатных осей , кгм2;

- координаты центров тяжести элементов в системе координат .

Таблица 4.2

Моменты инерции масс,

Название элемента	Ix	Iy	Iz
Рама	1,91E+10	1,182E+11	1,313E+11
Торцовая стена	4,54E+08	1,701E+10	1,701E+10
Боковая стена	4,98E+09	2,893E+10	2,501E+10
Крыша	6,47E+09	2,707E+10	3,213E+10
Груз	8,83E+10	1,129E+12	1,13E+12
Надрессорная балка	2,28E+09	1,534E+10	1,728E+10
	Ix общ	Iy общ	Iz общ
	1,293E+11	1,4E+12	1,41E+12

4.3 Математическая инерционная модель

Математической инерционной моделью кузова с произвольными координатными осями и центрально главными осями являются выражения (4.4, 4.5):

(4.4)

(4.5)

5 Виброзащитная модель динамической системы

5.1 Характеристики рессорного подвешивания двухосной тележки грузового вагона

Таблица 5.1

Параметры пружин рессорного комплекта

№ п/п	Параметр	Наружная пружина,	Внутренняя пружина,
1	Средний диаметр, мм Диаметр сечения пружины, мм
2	Число рабочих витков
3	Высота пружины в свободном состоянии, мм

Вертикальная жесткость блока двухрядной пружины

Жесткость двухрядной пружины равна сумме жесткостей наружной и внутренней однорядных пружин :

,(5.1)

где - номер однорядной пружины в блоке многорядной пружины .

Жесткости наружной и внутренней пружин определяем по формуле:

,(5.2)

где - диаметр прутка;

- средний диаметр пружины;

- модуль упругости второго рода (Н/м2).

Жесткости наружной и внутренней пружин соответственно:

Жесткость одной двухрядной пружины равна:

Так как рессорный комплект состоит из 7 двухрядных пружин, то вертикальная жесткость рессорного комплекта составляет:

,(5.3)

Поперечная жесткость однорядных пружин

Поперечная жесткость пружин определяется по формуле:

,(5.4)

где - боковая нагрузка на пружину;

- поперечное смещение верхнего узла пружины при защемленных концах пружины:

,(5.5)

где - коэффициенты:

(5.6)

, - полярный и осевой моменты инерции сечения прутка однорядной пружины:

(5.7)

- диаметр прутка однорядной пружины;

- модули упругости первого и второго рода, ( Н/м2 ).

- свободная высота пружины;

- деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой:

,(5.8)

- массы тары, тележки, надрессорной балки, груза;

- ускорение свободного падения, 9,8 м/с2;

- вертикальная нагрузка на один рессорный комплект, .

Деформация рессорного комплекта под вертикальной нагрузкой равна:

Таблица 5.2

Значения коэффициентов и моментов инерции для пружин

	k1, 1/Нм2	k2, 1/Н	, м4	, м4
Наружная пружина	9,4410-5	3,6410-6	7,9510-8	3,9710-8
Внутренняя пружина	58,610-5	8,610-6	1,2810-8	0,6410-8

Поперечная жесткость наружной и внутренней пружин соответственно:

Поперечная жесткость двухрядной пружины и рессорного комплекта

Двухрядная пружина имеет жесткость:

(5.9)

Жесткость рессорного комплекта равна:

(5.10)

5.2 Нагруженность системы силами упругости и реакциями сил упругости

Последовательно задаем центру масс кузова перемещения , строим схемы перемещений, находим перемещения упругих связей и по ним - деформации и усилия по направлению координатных осей рессорного комплекта .

Для грузового вагона, находящегося на жестком пути, возможными перемещениями являются:

q1- перемещения от колебания подергивания;

q2- от колебания подпрыгивания;

q3- бокового относа:

q4- бокового поворота;

q5- колебания виляния;

q6- колебания галопирования.

Рисунок 5.1 Расчетная схема вагона

Рисунок 5.2 - Схема нагруженности от q1

Деформации: du=U2-U1=q1-0=1; dv=V2-V1=0; dw=W2-W1=0.

Силы упругости: Pu=Cudu=42,951051=42,95105(Н).

Реакции:

X=0; r11=4Pu=4Cudu=442,95105=171,8105(Н);Y=0; r21=0;

Z=0; r31=0;Mx=0; r41=0;

My=0; r51-Pu1b1+Pu2b2-Pu3b3+Pu4b4=0; r51=0 (вагон симметричный);

Mz=0; r61-4Pu(s)hc*=0; r61=4Pu(s)hc*=442,951052,169=351,1105(Нм).

Рисунок 5.3 - Схема нагруженности от q2

Деформации: dv=V2-V1=q2-0=1.

Силы упругости: Pv=Cvdv=41061=4106(Н).

Реакции:

X=0; r12=0;

Y=0; r22=4Pv=4Cvdv=441061=16106(Н);

Z=0; r32=0;

Mx=0; r42=0;

My=0; r52=0;

Mz=0; r62+Pv1l1+Pv2l2-Pv3l3-Pv4l4=0; r62=0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.4 - Схема нагруженности от q3

Деформации: du=U2-U1=0; dv=V2-V1=0; dw=W2-W1=q3-0=1.

Силы упругости: Pw=Cwdw=42,951051=42,95105(Н).

Реакции:

X=0; r13=0;Y=0; r23=0;

Z=0; r33=4Pw=4Cwdw=442,951051=171,8105(Н);

Mx=0; r43-Pw1hc*-Pw2hc*-Pw3hc*-Pw4hc*=0;

r43=4Pwhc*=442,951052,169=351,1105(Нм)

My=0; r53=0 (вагон симметричный);

Mz=0; r63=0.

Рисунок 5.5 - Схема нагруженности от q4

Деформации: dv1=V2-V1=-bq4-0=1,018(м); dv2=V2-V1=bq4-0=1,018(м)

dw=W2-W1=-hcq4-0=2,0441=2,044(м);

Силы упругости: Pv=Cvdv=4106 1,018=4,072106(Н);

Pw=Cwdw=-Cwhc=42,951052,044=87,777105(Н).

Реакции:

X=0; r14=0; Y=0; r24+Pv1-Pv2+Pv3-Pv4=0; r24=0 (вагон симметричный);

Z=0; r34+Pw1+Pw2+Pw3+Pw4=0; r34= -4 Pw=487,777105=351,1105(Н);

Mx=0; r44-Pv1b1-Pv2b2-Pv3b3-Pv4b4-Pw1hc*-Pw2hc*-Pw3hc*-Pw4hc*=0; r44=4Pvb+4Pwhc*=44,072106 1,018+487,7771052,169=927,3105(Нм);

My=0; r54- Pw1l1-Pw2l2-Pw3l3-Pw4 l4=0; r54=0 (вагон симметричный);

Mz=0; r64-Pv1l1+Pv2l2+Pv3l3-Pv4l4=0; r64=0 (вагон симметричный).

Рисунок 5.6 - Схема нагруженности от q5
Деформации: du1=U2-U1=b1q5-0=1,018(м); du2=U2-U1=-b1q5-0=1,018(м);
dv=V2-V1=0; dw1=W2-W1=-l1q5-0=5(м); dw3=l3q5-0=5(м).
Силы упругости: Pu=Cudu=42,951051,018=43,723105(Н);
Pw1=Cwdw1=-Cw l1=42,951055=214,75105(Н).
Реакции:
X=0; r15=0;Y=0; r25=0;
Z=0; r35+Pw1+Pw2-Pw3-Pw4=0; r35=0 (вагон симметричный);
Mx=0; r45-Pw1hc*-Pw2hc*+Pw3hc*+Pw4hc*=0; r45=0 (вагон симметричный);
My=0; r55-Pu1b1-Pu2b2-Pu3b3-Pu4b4-Pw1l1-Pw2l2-Pw3l3-Pw4 l4=0;
r55=4Pub+4Pwl=443,7231051,018+4214,751055=447,3106(Нм);
Mz=0; r65+Pu1hc*-Pu2hc*+ Pv3hc*-Pu4hc*=0; r65=0 (вагон симметричный).
Рисунок 5.7 - Схема нагруженности от q6
Деформации: du=U2-U1=hcq6-0=2,044(м); dv1=dv2=V2-V1=l1q6-0=5(м);
dv3=dv4=V2-V1=l3q6-0=5(м).
Силы упругости: Pu=Cudu=42,951052,044=87,777105(Н);
Pv=Cvdv=41065=2107(Н).
Реакции:
X=0; r16=4Cuhc=442,951052,044=351,1105(Н);
Y=0; r26-Pv1-Pv2+Pv3+Pv4=0; r26=0 (вагон симметричный);
Z=0; r36=0;
Mx=0; r46+Pv1b1-Pv2b2-Pv3b3+Pv4b4= 0; r46=0 (вагон симметричный)
My=0; r56-Pu1b1+Pu2b2-Pu3b3+Pu4b4=0; r56=0 (вагон симметричный);
Mz=0; r66-Pu1hc*-Pu2hc*-Pu3hc* -Pu4hc* -Pv1l1-Pv2l2-Pv3l3-Pv4l4=0;
r66=487,7771052,169+421075=476,1106(Нм).
5.3 Математическая модель виброзащитной системы вагона

На кузов вагона действует система реакций сил упругости, обусловленная колебаниями . Реакции в связях по направлению координатных осей от .суммируются, образуя в узле вектор реактивных усилий:
(5.12)
где - матрица коэффициентов жесткости несимметричного вагона:
,(5.13)
- вектор перемещений центра масс кузова вагона.
6 Внешняя нагруженность динамической системы

6.1 Физическая модель нагруженности вагона

Рисунок 6.1 - Схема для расчета перемещения колесных пар
Нагруженность характеризуется силами упругости в рессорном подвешивании и реакциями сил упругости в центрах масс тел . Динамическая система получает гармонические возмущения от неровности пути через колесные пары по схеме рисунок 6.1. За начало отсчета принимаем систему координат кузова . Перемещения колес первой тележки по отношению к центру масс кузова имеют опережения, а второй - отставание по фазе, учитываемые углами сдвига фаз :
,(6.1)
где - углы сдвига фаз в перемещениях колесных пар:
,(6.2)
- амплитуда и длина волны вертикальной неровности пути;
- частота вынужденных кинематических возмущений,
(6.3)
При средней скорости движения вагона получим:
Перемещения буксовых узлов равны перемещениям точек контакта колес с рельсами (рисунок 6.1):
(6.4)
Из схем перемещений боковых рам находим перемещения нижних опорных поверхностей рессорных комплектов:
(6.5)
Деформации и силы упругости в виброзащитных связях при значениях перемещений (6.5) составляют:
(6.6)
(6.7)
Рисунок 6.2 - Расчетная схема для определения возмущающей нагрузки
6.2 Математическая модель внешних возмущающих нагрузок

Изначально силы упругости (6.7) в рессорном подвешивании на схемах (рисунок 6.2) положительны.
Силы упругости (6.7) вызывают в связях центрально-координатного узла кузова реакции возмущающих нагрузок (рисунок 6.2). Из равновесия кузова вектор кинематических возмущающих нагрузок равен:
,(6.8)
где .
При значениях сил (6.7) и (6.4) реакции (6.8) принимают значения:
(6.9)
(6.10)
(6.11)
В несимметричном вагоне возмущающие усилия вызывают колебания . Поскольку колебания через реакции связаны с , а последние через реакции с (5.12 ), то возникают все колебания кузова . Кузов испытывает сложные вынужденные колебания.
В симметричном вагоне при линейные реакции (6.9) не меняются, а угловые - (6.10), (6.11) становятся равными:
(6.12)
Возмущающие реакции вызовут в системе колебания и . Колебание возникает вследствие взаимосвязи через реакции . Если реакции малы , то будем иметь только два вида колебаний - и .
В реакциях возмущения от колесных пар сдвинуты по фазе (), что создает некоторые затруднения в решении задачи. Для упрощения решения сложим составляющие гармонических возмущений в этих реакциях. Сложение выполним графическим способом, используя интерпретацию вращающихся векторов и их проекций на горизонтальную ось .
Рисунок 6.3 - Векторная диаграмма
Для сложения функций в реакции (6.9), проведем радиусом, равным амплитуде кинематического возмущения , окружность и в соответствии с углами сдвига фаз , отложим последовательно амплитуды возмущений по колесным парам (рисунок 6.3). Сложим векторы амплитуд , и , в тележках и получаем значения .
Выполнив сложение векторов по тележкам, находим эквивалентную амплитуду вектора возмущений для вагона - , которая соответствует колебанию .
Из векторной диаграммы определяем: .
Проекция вектора на горизонтальную ось дает функцию суммарного возмущения на вагон:
(6.13)
Эта функция заменяет выражение, стоящее в фигурных скобках (6.9). Значение суммарной возмущающей реакции на вагон теперь равно:
(6.14)
где - амплитуда возмущающей силы по колебанию подпрыгивания, .
Аналогично изложенному производим сложение возмущающих функций в реакции . Знак минус во второй квадратной скобке учитывается изменением направления вектора на обратный.
Суммарное значение возмущающей функции по колебанию галопирования равно:
,(6.15)
где - амплитуда возмущающей силы по колебанию галопирования.
Выводы:
1. Наибольшие значения сил вертикальных возмущений получим, если векторы амплитуд возмущений по тележкам будут совпадать. Это произойдет в случае равенства базы вагона длине волны неровности. При этом реакция возмущений по шестому колебанию становится бесконечно малой, .
2. Наибольшего значения реакция достигает, когда совпадают векторы амплитуд колебаний . Это происходит в случае, когда база вагона равна половине длины неровности пути . Однако в этом случае реакция возмущений по колебанию подпрыгивания обращается в ноль, .
6.3 Математическая модель динамики вагона на рессорах

Математической моделью является система дифференциальных уравнений, описывающая колебания вагона в функции времени.
Уравнения колебаний получаем из уравнения динамического равновесия реакций в центрально-координатном узле кузова, суммируя реакции по блок-моделям силовых подсистем: инерционной, виброзащитной, внешних возмущений. Для несимметричного вагона, с центрально-главными осями система уравнений колебаний равна:
(6.16)
Уравнения колебаний системы в матричном представлении:
· в развернутой форме:
(6.17)
· в сокращенной форме записи:
(6.18)
Для симметричного вагона, из-за отсутствия многих побочных реакций, получаем независимые уравнения колебаний:
(6.19)
и взаимосвязанные уравнения боковых колебаний:
(6.20)
Уравнения колебаний (6.16 - 6.20) описывают совместные свободные и вынужденные колебания вагона. Рассмотрим динамику свободных и вынужденных колебаний.
7 Свободные колебания вагона на рессорах

7.1 Уравнения свободных колебаний вагона

Свободные колебания наблюдаются при прекращении действия возмущающих сил или при изменении силовых характеристик динамической системы.
Уравнения свободных колебаний кузова вагона, в системе главных, центрально-координатных осей:
· для несимметричного вагона по реакциям сил упругости:
в развернутой форме:
,(7.1)
в развернуто-матричной форме:
,(7.2)
· для симметричного вагона по реакциям сил инерции и упругости:
(7.3)
(7.4)
7.2 Определение частот свободных колебаний

Решениями однородных уравнений (7.1 - 7.4) являются тригонометрические функции:
(7.5)
Или в общем виде:
(7.6)
Вторые производные являются ускорениями колебаний тела:
,(7.7)
где - амплитуда свободных колебаний;
- частота свободных колебаний.
Подставляя и в уравнения свободных колебаний (7.1 - 7.4), получаем уравнения колебаний в алгебраической форме:
,(7.8)
,(7.9)
(7.10)
В полученных уравнениях амплитуды колебаний не равны нулю, поскольку система колеблется. Чтобы тождества удовлетворялись, необходимо равенство нулю определителей составленных из коэффициентов при неизвестных амплитудах, то есть:
· для несимметричного вагона
,(7.11)
· для симметричного вагона
(7.12)
(7.13)
Полученные уравнения (7.11 - 7.13) являются уравнениями частот. Из решения уравнения (7.12), находим частоты свободных колебаний, 1/с:

(7.14)
Раскрывая определитель (7.13), получаем выражение вида
(7.15)
После преобразования (7.15) приходим к характеристическому уравнению:
,(7.16)
где - частотный параметр, .
Из уравнения (7.16) корни равны:
7.3 Формы колебаний вагона

Частными решениями для симметричного вагона являются функции:
· для независимых колебаний:
(7.19)
· для взаимосвязанных боковых колебаний:
(7.20)
Частным решениям (7.19) отвечают формы колебаний подергивания, подпрыгивания, виляния, галопирования. Решениям уравнений (7.20) соответствуют колебания боковой качки I и II рода.
8 Вынужденные колебания вагона на рессорах

8.1 Резонансные колебания кузова вагона

При движении по гармонической неровности пути реактивные усилия в симметричном вагоне вызывают колебания подпрыгивания и галопирования, которые описываются уравнениями (6.19):
(8.1)
(8.2)
Уравнения (8.1) и (8.2) однотипны. Проследим решение одного из уравнений, например, колебания подпрыгивания. Другое будет решаться аналогично первому.
Общее решение уравнения (8.1) складывается из частного решения однородного уравнения (без первой части) и частного решения неоднородного уравнения (с правой частью):
(8.3)
Частное решение отвечает свободным колебаниям системы (рис.8.1,б), а частное решение - вынужденным (рис. 8.1,а).
Произвольные постоянные являются амплитудами свободных и вынужденных колебаний.
Если подставим частные производные , соответственно в однородное и неоднородные уравнения, то найдем
(8.4)
Общее решение (8.3) представится теперь в виде:
(8.5)
Возможны следующие случаи колебаний системы:
· нерезонансный, когда ;
· резонансный, когда ;
· случай близкий к резонансному, .
Резонансным случаем (режимом) колебаний считают тот, когда различия между частотами составляет не более 15%.
Колебания в нерезонансной области
При отклонении вагона от положения статического равновесия на величину , вагон совершает гармонические колебания, определяемые первым членом уравнения (8.5). При воздействии на вагон только возмущающих нагрузок вагон совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой . Закон колебаний определяется вторым членом уравнения (8.5). В случае воздействия на вагон одновременно начальных возмущений и возмущающих нагрузок движения вагона определяются общим уравнением (8.5).
Из-за наличия в системе сил трения, свободные колебания с течением времени затухают и движение системы определяется вторым членом уравнения (8.5).
Колебания вагона в резонансном и близким к резонансу режимах
Считаем, что частоты возмущений близки к частоте свободных колебаний:
(8.6)
где - бесконечно малая величина.
Динамика вагона определяется законом движения (8.5) с учетом значений параметров (8.4).
Произвольные постоянные в решении (8.5) найдем из начальных условий движений системы. Полагаем, в начальный момент движения перемещение и скорость были равны нулю, то есть:
(8.7)
Из решения системы (8.7) находим:
(8.8)
Общее решение (8.5) с учетом (8.8) и последующим ее преобразованием через тригонометрические функции половинных углов принимает вид:
(8.9)
Периоды тригонометрических функций равны:
(8.10)
Рисунок 8.1 - График колебаний биения
Период , поскольку - бесконечно малая величина. Закон колебаний системы по условию (8.9) показан на рисунке 8.1. Колебания заданного вида называют колебаниями биения.
При более близком совпадении частот, в выражении (8.9) можно принять . Тогда закон колебаний подпрыгивания при учете значения (8.8) будет выражен функцией:
(8.11)
Колебания пропорциональны времени и нарастают с течением времени (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 - График колебаний
За время одного цикла колебаний происходит приращение амплитуд колебаний на величину:
,(8.12)
Аналогично изложенному можно решить уравнение колебаний галопирования (8.2) и найти параметры колебаний:
(8.13)
Выводы:
Колебания динамической системы без сил трения опасны тем, что в резонансном и околорезонансном режимах происходят значительные нарастания амплитуд колебаний. Возникает обезгрузка колесных пар и потеря их устойчивости против вкатывания на головку рельса. Возможны саморасцепы вагонов.
Уровень колебаний определяется величиной возмущающих нагрузок , а последние соотношениями:
· длины базы вагона и неровности пути;
· частот вынужденных и свободных колебаний ().
3. Для снижения колебаний необходимо ввести в рессорное подвешивание диссипативные силы: вязкого или сухого трения.
8.2 Определение параметров гасителей колебаний

Параметры гасителей сухого трения
Необходимые значения сил трения гасителей в первом приближении определим из условия энергетического принципа.
Работа сил трения гасителей за один период колебаний должна равняться приращению потенциальной энергии рессорного подвешивания вагона за тот же период:
(8.14)
где - число гасителей и рессор в вагоне.
- работа сил трения и приращение потенциальной энергии в рессорном комплекте при колебании по оси .
Работу сил сухого трения фрикционного гасителя найдем по площади гистерезисной петли силовой характеристики гасителя (рис.8.3, а):
,(8.15)
а приращение потенциальной энергии - по работе сил упругости (рис. 8.3,б):
,(8.16)
где - силы трения при сжатии и растяжении гасителя в среднем положении;
- амплитуда деформаций рессор и гасителя;
- приращение деформаций рессор за период колебаний;
- силы упругости в начале и в конце периода колебания рессорного комплекта:
,(8.17)
- вертикальная жесткость рессорного комплекта.
Рисунок 8.3-Работа сил трения
Для вагона условие энергетического баланса имеем равное:
(8.18)
Откуда требуемые значения сил трения, при допущении в виду малости, получаем равным:
(8.19)
Приращение вертикальных деформаций рессор находим по приращению амплитуд колебаний подпрыгивания и галопирования:
(8.20)
где - полубаза вагона.
Принято силы трения оценивать через удельные характеристики - коэффициенты относительной сил трения при сжатии и растяжении .
(8.21)
где - сила упругости в рессорном подвешивании от статических нагрузок.
(8.22)
и тогда выражение (8.19) представим как
(8.23)
Или
(8.24)
где - средняя требуемая величина коэффициента относительного трения гасителя колебаний.
Таким же образом можно получить параметр . По колебаниям подпрыгивания и галопирования выбирают наибольшее. Значение принятого коэффициента относительного трения для расчета гасителей колебаний является приближенным и в последующих исследованиях уточняется в динамических системах с сухим трением в рессорном подвешивании.
На основании энергетического способа могут быть определены параметры гасителей вязкого трения.
Работа сил трения гидравлического гасителя колебаний равна:
(8.25)
Откуда на основании энергетического принципа:
(8.26)
Литература

Вершинский, С.В., Данилов, В.Н., Хусидов, В.Д. Динамика вагона: Учебник для вузов ж.-д. трансп./Под ред. С.В. Вершинского. - М.: Транспорт, 1991. - 360 с.
Сенаторов, С.А. Прогнозирование нагруженности, износа и динамики подвижного состава: Ч.1. Динамические системы подвижного состава и методы их исследования. Уч. пособ. - Екатеринбург: Изд. УЭМИИТ, 1996 - 104 с.
Сенаторов, С.А. Прогнозирование нагруженности, износа и динамики подвижного состава: Ч.2. Инерционные модели динамических систем подвижного состава. Уч.пособ. - Екатеринбург: Изд. УЭМИИТ, 1996. - 71 с.

	НОВОСТИ

Изменения

Прошла модернизация движка, изменение дизайна и переезд на новый более качественный сервер

	СЧЕТЧИК

БОЛЬШАЯ ЛЕНИНГРАДСКАЯ БИБЛИОТЕКА
	© 2010